Question

（2011•奉賢區(qū)二模）已知F1(-

2

，0)和F2(

2

，0)，點T（x，y）滿足|

TF1

|+|

TF2

|=4，O為直角坐標原點，
（1）求點T的軌跡方程Γ；
（2）過點（0，1）且以(2，

2

)為方向向量的一條直線與軌跡方程Γ相交于點P，Q兩點，OP，OQ所在的直線的斜率分別是k_OP、k_OQ，求k_OP•k_OQ的值．

Answer 1

分析：（1）由題意可知點T的軌跡是以F₁、F₂為焦點的橢圓，其中 a=2，c=

2

，b=

a2-c2

=2，由此能夠推導出點T的軌跡方程．
（2）先求出直線L的方程，與橢圓方程聯(lián)立求出x₁x₂以及y1y2=-

1

2

代入k_OP•k_OQ即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）∵|

TF1

|+|

TF2

|=4＞|F₁F₂|=2

2

，
∴點T的軌跡是以F₁、F₂為焦點的橢圓，
其中 a=2，c=

2

，b=

a2-c2

=2，
故點T的軌跡方程為

x2

4

+

y2

2

=1（6分）
（2）直線L的斜率k=

2

2

（7分）
設直線L的方程：y=

2

2

x+1（8分）
聯(lián)立

x2 4 + y2 2 =1 y= 2 2 x+1

消去y得：x2+

2

x-1=0所以x₁x₂=-1，（10分）
同法消去x得：2y²-2y-1=0，所以y1y2=-

1

2

（12分）
∴K_OP•K_OQ=

y1•y2

x1•x2

=

1

2

．（16分）

點評：本題綜合考查橢圓的性質(zhì)及其應用和直線與橢圓的位置關系，難度較大，解題時要認真審題，仔細解答，避免出現(xiàn)不必要的錯誤．