Question

（2012•黃浦區(qū)二模）已知定點(diǎn)F（2，0），直線l：x=2，點(diǎn)P為坐標(biāo)平面上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為點(diǎn)Q，且

FQ

⊥(

PF

+

PQ

)．設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）過點(diǎn)F的直線l₁與曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B，求證：

1

|AF|

+

1

|BF|

=

1

2

；
（3）記

OA

與

OB

的夾角為θ（O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B為（2）中的兩點(diǎn)），求cosθ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）確定向量的坐標(biāo)，利用

FQ

⊥(

PF

+

PQ

)，得

FQ

•(

PF

+

PQ

)=0，由此可求曲線C的方程；
（2）設(shè)直線l₁的方程為x=my+2與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合

1

|AF|

+

1

|BF|

=

1

x1+2

+

1

x2+2

，即可證得結(jié)論；
（3）確定

OA

=（x₁，y₁），

OB

=（x₂，y₂），利用cosθ=

OA • OB

| OA || OB |

，可求cosθ的取值范圍．

解答：（1）解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）．                                    （1分）
由題意，可得Q（-2，y），

FQ

=（-4，y），

PF

=（2-x，-y），

PQ

=（-2-x，0）．（3分）
由

FQ

⊥(

PF

+

PQ

)，得

FQ

•(

PF

+

PQ

)=0，即（-4，y）•（-2x，-y）=0
∴y²=8x（x≥0）．    （6分）
∴所求曲線C的方程為y²=8x（x≥0）．    
（2）證明：因?yàn)檫^點(diǎn)F的直線l₁與曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B，所以l₁的斜率不為零，
故設(shè)直線l₁的方程為x=my+2．                                （7分）
于是A、B的坐標(biāo)（x₁，y₁）、（x₂，y₂）為方程組

y2=8x x=my+2

的實(shí)數(shù)解．
消x并整理得y²-8my-16=0．　　　　                          �。�8分）
于是y₁+y₂=8m，y₁y₂=-16，
∴x₁+x₂=8m²+4，x₁x₂=4，（10分）
又因?yàn)榍�線y²=8x（x≥0）的準(zhǔn)線為x=-2，
所以

1

|AF|

+

1

|BF|

=

1

x1+2

+

1

x2+2

=

4+x1+x2

x1x2+2(x1+x2)+4

=

1

2

，得證． （12分）
（3）解：由（2）可知，

OA

=（x₁，y₁），

OB

=（x₂，y₂）．
∴cosθ=

OA • OB

| OA |•| OB |

=

x1x2+y1y2

x 2 1 + y 2 1 • x 2 2 + y 2 2

=

-12

x 2 1 +8x1 • x 2 2 +8x2

=

-6

100+64m2

≥-

3

5

（當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí)，等號成立）．　　　　�。�16分）
∴cosθ的取值范圍為[-

3

5

，0）．                    （18分）

點(diǎn)評：本題考查向量知識的運(yùn)用，考查軌跡方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．