Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若，求曲線在點處的切線方程；

（2）若，求在區(qū)間 上的最小值；

（3）若函數(shù)有兩個極值點，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時，最小值為；當(dāng)時，最小值為（3）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）要求曲線在某點處的切線方程，只要求出導(dǎo)數(shù)，計算出斜率，即可寫出切線方程；（2）要求最小值，先確定函數(shù)在上的單調(diào)性，由單調(diào)性可確定極小值與最小值；（3）要證明此不等式，先把表示出來，為此可求得，因此有兩個不等實根，同樣利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)研究的單調(diào)性，得只有時，才符合題意，又，，，

先證，即證，即證，這樣只要設(shè)（不妨設(shè)，），即要證證，設(shè)，因此下面研究函數(shù)的單調(diào)性與最大值，可完成證明．

試題解析：（1）當(dāng)時，，所以曲線在點處的切線方程為

（2），，

當(dāng)時，在增，最小值為；當(dāng)時，在減，增，最小值為．

（3），，函數(shù)有兩個相異的極值點，即有兩個不同的實數(shù)根．

①當(dāng)時，單調(diào)遞增，不可能有兩個不同的實根；

②當(dāng)時，設(shè)，

當(dāng)時，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，單調(diào)遞減；

∴，∴，

不妨設(shè)，∵，

∴

先證，即證，即證，

令，即證，設(shè)，則，函數(shù)在單調(diào)遞減，∴，∴，又，∴，

∴