【題目】已知函數(shù).
(1)若,求曲線
在點(diǎn)
處的切線方程;
(2)若,求
在區(qū)間
上的最小值;
(3)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)
,求證:
.
【答案】(1);(2)當(dāng)
時(shí),最小值為
;當(dāng)
時(shí),最小值為
(3)證明見(jiàn)解析.
【解析】
試題分析:(1)要求曲線在某點(diǎn)處的切線方程,只要求出導(dǎo)數(shù),計(jì)算出斜率
,即可寫(xiě)出切線方程;(2)要求最小值,先確定函數(shù)在
上的單調(diào)性,由單調(diào)性可確定極小值與最小值;(3)要證明此不等式,先把
表示出來(lái),為此可求得
,因此
有兩個(gè)不等實(shí)根
,同樣利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)研究
的單調(diào)性,得只有
時(shí),才符合題意,又
,
,
,
先證,即證
,即證
,這樣只要設(shè)
(不妨設(shè)
,
),即要證證
,設(shè)
,因此下面研究函數(shù)
的單調(diào)性與最大值,可完成證明.
試題解析:(1)當(dāng)時(shí),
,所以曲線
在點(diǎn)
處的切線方程為
(2),
,
當(dāng)時(shí),
在
增,最小值為
;當(dāng)
時(shí),
在
減,
增,最小值為
.
(3),,函數(shù)有兩個(gè)相異的極值點(diǎn)
,即
有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.
①當(dāng)時(shí),
單調(diào)遞增,
不可能有兩個(gè)不同的實(shí)根;
②當(dāng)時(shí),設(shè)
,
當(dāng)時(shí),
,
單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),
,
單調(diào)遞減;
∴,∴
,
不妨設(shè),∵
,
∴
先證,即證
,即證
,
令,即證
,設(shè)
,則
,函數(shù)
在
單調(diào)遞減,∴
,∴
,又
,∴
,
∴
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)(
且
,
),
是定義域是
的奇函數(shù).
(1)求的值,判斷并證明當(dāng)
時(shí),函數(shù)
在
上的單調(diào)性;
(2)已知,函數(shù)
,
,求
的值域;
(3)已知,若
對(duì)于
時(shí)恒成立,請(qǐng)求出最大的整數(shù)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】中,直線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)),在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系
取相同的長(zhǎng)度單位,且以原點(diǎn)
為極點(diǎn),以
軸正半軸為極軸)中,圓
的方程為
.
(1)求圓的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)圓與直線
交于點(diǎn)
,若點(diǎn)
的直角坐標(biāo)為
,求
的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知a1=10,a2為整數(shù),且Sn≤S4.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知某種商品每日的銷售量y(單位:噸)與銷售價(jià)格x(單位:萬(wàn)元/噸,1<x≤5)滿足:當(dāng)1<x≤3時(shí),y=a(x﹣4)2 +(a為常數(shù));當(dāng)3<x≤5時(shí),y=kx+7(k<0),已知當(dāng)銷售價(jià)格為3萬(wàn)元/噸時(shí),每日可售出該商品4噸,且銷售價(jià)格x∈(3,5]變化時(shí),銷售量最低為2噸.
(1)求a,k的值,并確定y關(guān)于x的函數(shù)解析式;
(2)若該商品的銷售成本為1萬(wàn)元/噸,試確定銷售價(jià)格x的值,使得每日銷售該商品所獲利潤(rùn)最大.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下圖為一簡(jiǎn)單組合體,其底面ABCD為正方形,平面
,
,且
=2 .
(1)在答題卷指定的方框內(nèi)已給出了該幾何體的俯視圖,請(qǐng)?jiān)诜娇騼?nèi)畫(huà)出該幾何體的正(主)視圖和側(cè)(左)視圖;
(2)求證:平面
.
(3)求四棱錐B-CEPD的體積;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列事件中,是必然事件的是( )
A.任意買一張電影票,座位號(hào)是2的倍數(shù)B.13個(gè)人中至少有兩個(gè)人生肖相同
C.車輛隨機(jī)到達(dá)一個(gè)路口,遇到紅燈D.明天一定會(huì)下雨
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】以一個(gè)等邊三角形的底邊所對(duì)應(yīng)的中線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體是( )
A.一個(gè)圓柱B.一個(gè)圓錐C.一個(gè)圓臺(tái)D.兩個(gè)圓錐
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)在邊長(zhǎng)為1的正方形內(nèi)任取一點(diǎn)
,求事件“
”的概率;(2)某班在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中,老師讓全班56名同學(xué)每人隨機(jī)寫(xiě)下一對(duì)都小于1的正實(shí)數(shù)
、
,統(tǒng)計(jì)出兩數(shù)能與1構(gòu)成銳角三角形的三邊長(zhǎng)的數(shù)對(duì)
共有12對(duì),請(qǐng)據(jù)此估計(jì)
的近似值(精確到
).
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