Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若，求在區(qū)間 上的最小值；

（3）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，最小值為；當(dāng)時(shí)，最小值為（3）證明見(jiàn)解析．

【解析】

試題分析：（1）要求曲線在某點(diǎn)處的切線方程，只要求出導(dǎo)數(shù)，計(jì)算出斜率，即可寫(xiě)出切線方程；（2）要求最小值，先確定函數(shù)在上的單調(diào)性，由單調(diào)性可確定極小值與最小值；（3）要證明此不等式，先把表示出來(lái)，為此可求得，因此有兩個(gè)不等實(shí)根，同樣利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)研究的單調(diào)性，得只有時(shí)，才符合題意，又，，，

先證，即證，即證，這樣只要設(shè)（不妨設(shè)，），即要證證，設(shè)，因此下面研究函數(shù)的單調(diào)性與最大值，可完成證明．

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為

（2），，

當(dāng)時(shí)，在增，最小值為；當(dāng)時(shí)，在減，增，最小值為．

（3），，函數(shù)有兩個(gè)相異的極值點(diǎn)，即有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．

①當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)不同的實(shí)根；

②當(dāng)時(shí)，設(shè)，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

∴，∴，

不妨設(shè)，∵，

∴

先證，即證，即證，

令，即證，設(shè)，則，函數(shù)在單調(diào)遞減，∴，∴，又，∴，

∴