Question

已知函數(shù)f（x）=2cos²ωx+2sinωxcosωx+1（x∈R，ω＞0）的最小正周期是

π

2

．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅲ）若f（x）-a²＞2a在x∈[0，

π

8

]上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把f（x）的解析式第一項(xiàng)利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，第二項(xiàng)利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，合并后給前兩項(xiàng)提取

2

后，利用兩角和的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)f（x）的最小正周期及周期公式即可求出ω的值；
（Ⅱ）由正弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即為f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅲ）由f（x）-a²＞2a變形可得f（x）大于a²+2a，根據(jù)x的范圍，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的最小值，由求出的最小值及不等式恒成立的條件即可列出關(guān)于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范圍．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=2cos²ωx+2sinωxcosωx+1

=2• 1+cos2ωx 2 +sin2ωx+1 =sin2ωx+cos2ωx+2 = 2 (sin2ωxcos π 4 +cos2ωxsin π 4 )+2 = 2 sin(2ωx+ π 4 )+2

由函數(shù)f（x）的最小正周期是

π

2

，可得

2π

2ω

=

π

2

，所以ω=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)=

2

sin(4x+

π

4

)+2．
當(dāng)

π

2

+2kπ≤4x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ，即

π

16

+

kπ

2

≤x≤

5π

16

+

kπ

2

(k∈Z)時(shí)，
函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：[

π

16

+

kπ

2

，

5π

16

+

kπ

2

](k∈Z)；
（Ⅲ）∵f（x）-a²＞2a，
∴a²+2a＜f（x），
∵x∈[0，

π

8

]，即4x+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]，
∴

2

2

≤sin≤1，
∴f（x）有最小值為3，
由a²+2a＜f（x）恒成立，得a²+2a＜3，
∴-3＜a＜1
實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-3，1）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角函數(shù)的恒等變形，正弦函數(shù)的單調(diào)性以及三角形的最值，其中利用三角函數(shù)的恒等變形把f（x）化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，進(jìn)而求出ω，確定出f（x）的解析式是本題的突破點(diǎn)，同時(shí)第三問(wèn)的難點(diǎn)在于理解不等式恒成立滿足的條件，要使a²+2a＜f（x）恒成立，即要求出f（x）的最小值，然后讓最小值大于a²+2a．