Question

如圖，以O(shè)x為始邊作角α與β（0＜β＜α＜π），它們的終邊分別與單位圓相交于點P，Q，已知點P的坐標(biāo)為(-

3

5

，

4

5

)．
（1）求

sin2α+cos2α+1

1+tanα

的值；
（2）若

OP

•

OQ

=0，求sin（α+β）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)定義得到角的三角函數(shù)值，把要求的式子化簡用二倍角公式，切化弦，約分整理代入數(shù)值求解．
（2）以向量的數(shù)量積為0為條件，得到垂直關(guān)系，在角上表現(xiàn)為差是90°用誘導(dǎo)公式求解．

解答：解：（1）由三角函數(shù)定義得cosα=-

3

5

，sinα=

4

5

，
∴原式=

2sinαcosα+2cos2α

1+ sinα cosα

=

2cosα(sinα+cosα)

sinα+cosα cosα

=2cos2α=2×(-

3

5

)2=

18

25

；
（2）∵

OP

•

OQ

=0，∴α-β=

π

2

∴β=α-

π

2

，∴sinβ=sin(α-

π

2

)=-cosα=

3

5

cosβ=cos(α-

π

2

)=sinα=

4

5

∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=

4

5

•

4

5

+(-

3

5

)•

3

5

=

7

25

．

點評：經(jīng)歷用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出題目要用的條件的過程，體驗和感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程，體會向量和三角函數(shù)的聯(lián)系；高考題目中向量和三角函數(shù)經(jīng)常結(jié)合在一起出現(xiàn)．