Question

（2012•泉州模擬）設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知sin(A-

π

6

)=cosA．
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）若a=2，求b+c的最大值．

Answer 1

分析：解法一：（Ⅰ）由已知利用兩角差的正弦公式展開(kāi)可求tanA，結(jié)合0＜A＜π，可求A
（Ⅱ）由正弦定理得b=

a•sinB

sinA

=

4

3

sinB，c=

a•sinC

sinA

=

4

3

sinC，則有b+c=

4

3

(sinB+sinC)，結(jié)合（I）中的A可得B+C，代入上式，然后結(jié)合和差角及輔助角公式可求
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，結(jié)合（I）中A可得，b，c的關(guān)系，然后利用基本不等式即可求

解答：解法一：（Ⅰ）由已知有sinA•cos

π

6

-cosA•sin

π

6

=cosA，…（2分）
故sinA=

3

cosA，tanA=

3

．…（4分）
又0＜A＜π，
所以A=

π

3

．…（5分）
（Ⅱ）由正弦定理得b=

a•sinB

sinA

=

4

3

sinB，c=

a•sinC

sinA

=

4

3

sinC，…（7分）
故b+c=

4

3

(sinB+sinC)．…（8分）sinB+sinC=sinB+sin(

2π

3

-B)=sinB+sin

2π

3

•cosB-cos

2π

3

•sinB=

3

2

sinB+

3

2

cosB
=

3

sin(B+

π

6

)．…（10分）
所以b+c=4sin(B+

π

6

)．
因?yàn)?span id="l0ximpa" class="MathJye">0＜B＜

2π

3

，所以

π

6

＜B+

π

6

＜

5π

6

．
∴當(dāng)B+

π

6

=

π

2

即B=

π

3

時(shí)，sin(B+

π

6

)取得最大值1，
b+c取得最大值4．…（12分）
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得，4=b²+c²-bc，…（8分）
所以4=（b+c）²-3bc，即(b+c)2-3(

b+c

2

)2≤4，…（10分）
∴（b+c）²≤16，故b+c≤4．
所以，當(dāng)且僅當(dāng)b=c，即△ABC為正三角形時(shí)，b+c取得最大值4．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查兩角和與差的三角函數(shù)公式、正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．