Question

下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量（x噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（噸）標(biāo)準(zhǔn)煤的幾組對照數(shù)據(jù)：

x	3	4	5	6
y	2.5	3	4	4.5

（1）請畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；并指出x，y 是否線性相關(guān)；
（2）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的
線性回歸方程

?

y

=bx+a；
（3）已知該廠技術(shù)改造前100噸甲產(chǎn)品能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤，
試根據(jù)（2）求出的線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術(shù)改造前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？
（參考：用最小二乘法求線性回歸方程系數(shù)公式

b

=

n i=1 xiyi-n . x • . y

n i=1 xi2-n . x 2

，

a

=

.

y

-b

.

x

．

Answer 1

分析：（1）欲畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，只需將表中數(shù)據(jù)一一描點(diǎn)畫圖即可，根據(jù)散點(diǎn)圖觀察樣本點(diǎn)是否分布在一條直線的附近，從而確定是否線性相關(guān)；
（2）先算出x和y的平均值，然后將有關(guān)結(jié)果代入公式

b

=

n i=1 xiyi-n . x • . y

n i=1 xi2-n . x 2

，

a

=

.

y

-b

.

x

即可求a和b的值，從而求出線性回歸方程；
（3）將x=100時(shí)代入線性方程得到y(tǒng)的值，就能預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗情況，從而得到所求．

解答：解（1）散點(diǎn)圖如右圖所示，由散點(diǎn)圖可以看出樣本點(diǎn)分布在一條直線的附近，可見x，y線性相關(guān)；
（2）∵

4

i=1

XiYi=66.5，

4

i=1

X

2 i

=32+42+52+62=86，

.

X

=4.5，

.

Y

=3.5，
∴

?

b

=

66.5-4×4.5×3.5

86-4×4.52

=

66.5-63

86-81

=0.7，
 

?

a

=

.

Y

-

?

b

.

X

=3.5-0.7×4.5=0.35，
∴所求的回歸方程為

?

y

=0.7x+0.35；
（3）∵

?

y

=0.7x+0.35，
∴當(dāng)x=100時(shí)，y=0.7×100+0.35=70.35（噸），
預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低90-70.35=19.65（噸）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線性回歸方程的求法和應(yīng)用，本題是非常符合新課標(biāo)中對于線性回歸方程的要求，注意通過這個(gè)題目掌握一類問題，注意數(shù)字的運(yùn)算．屬于中檔題．