Question

已知兩不共線的向量的夾角為θ，且為正實數(shù)．
（1）若垂直，求tanθ；
（2）若對任意正實數(shù)x，向量的模不小于，求θ的取值范圍；
（3）若θ為銳角，對于正實數(shù)m，關(guān)于x的方程有兩個不同的正實數(shù)解，且x≠m，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用?，即可解出；
（2）利用向量模的計算公式及變形利用基本不等式的性質(zhì)及三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（3）利用向量模的計算公式、一元二次方程有兩個不等正實數(shù)根的充要條件、根與系數(shù)的關(guān)系即可解出．
解答：解：（1）∵，∴，化為，
∴3²-2×3×1×cosθ-8×1²=0，解得，
又θ∈（0，π），∴=，∴．
（2）∵=，對x＞0恒成立，
即，對于x＞0恒成立?恒成立，對于x＞0．
∵=，當且僅當x=時取等號，∴，
∵θ∈（0，π），∴．
（3）對于方程兩邊平方得9x²-6xcosθ+1-9m²=0 （*）
設(shè)方程（*）的兩個不同正實數(shù)解為x₁，x₂，
則得cosθ＞0，，

若x=m，則方程（*）化為，∵x≠m，∴．
令，得解得，且．
當時，m的取值范圍是{m|且}；
當或時，m的取值范圍是{m|}．
點評：熟練掌握向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、向量模的計算公式及變形利用基本不等式的性質(zhì)、三角函數(shù)的單調(diào)性、一元二次方程有兩個不等正實數(shù)根的充要條件、根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．