Question

已知A₁，A₂，…，A_n，…依次在x軸上，（n=2，3，…），點(diǎn)B₁，B₂，…，B_n，…依次在射線y=x（x≥0）上，且B₁（3，3），=
（1）用n表示A_n，B_n的坐標(biāo)；
（2）若四邊形A_nA_n+1B_n+1B_n面積為S_n，求S_n的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意是一個(gè)等比關(guān)系，故根據(jù)等比數(shù)列公式求其通項(xiàng)，進(jìn)而求出示A_n，B_n的坐標(biāo)；
（2）由題意（1）中數(shù)列的前n項(xiàng)和即為An的縱坐標(biāo)，再由在射線y=x（x≥0）上依次有點(diǎn)B1，B2，…，Bn，…即可得出Bn的坐標(biāo)；根據(jù)四邊形AnAn+1Bn+1Bn的幾何特征，把四邊形的面積分成兩個(gè)三角形的面積來求，求出面積的表達(dá)式，再作差Sn-Sn-1，確定其單調(diào)性，然后求出最大值．
解答：解：（Ⅰ）∵，又∵，
∴=
∴=++…+=（4+2+…+，0）=（，0）
∴
又∵B₁（3，3），
∴=3
又∵=
∴=（2n+1）
∵點(diǎn)B₁，B₂，…，B_n，…依次在射線y=x（x≥0）上，
∴B_n（2n+1，2n+1）
（2）∵，△A_nA_n+1B_n+1的底面邊A_nA_n+1的高為h₁=2n+3，
又∵，點(diǎn)到直線y=x的距離為h₂=
∴S_n==
∴S_n-S_n-1=
當(dāng)n≤2時(shí)，S_n-S_n-1＞0；
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-S_n-1＜0；
∴S₁＜S₂＞S₃＞…＞Sn＞…
∴S_max=S₂=12
點(diǎn)評：本題是一個(gè)數(shù)列應(yīng)用題，也是等差等比數(shù)列的一個(gè)綜合題，本題有著一個(gè)幾何背景，需要做正確的轉(zhuǎn)化和歸納，才能探究出正確的解決方法．本題是個(gè)難題，比較抽象．