Question

已知函數(shù)f（x）=x²-16x+q+3．
（1）若函數(shù)y=f（sinx）在區(qū)間（-∞，+∞）上存在零點，求實數(shù)q的取值范圍；
（2）問：是否存在常數(shù)t（t≥0），當(dāng)x∈[t，10]時，f（x）的值域為區(qū)間D，且D的長度為12-t．

Answer 1

分析：（1）通過換元利用正弦函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的單調(diào)性、零點的判定定理即可得出；
（2）通過分類討論t與8的大小關(guān)系并利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答：解：（1）令t=sinx，則y=f（sinx）化為二次函數(shù)f（t）=t²-16t+q+3，其對稱軸是t=8．
∴函數(shù)f（t）=t²-16t+q+3在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減，
∴要函數(shù)f（t）在區(qū)間[-1，1]上存在零點須滿足f（-1）f（1）≤0，
即 （1+16+q+3）（1-16+q+3）≤0，解得-20≤q≤12．
（2）①當(dāng)

t＜8 8-t≥10-8 t≥0

時，即0≤t≤6時，f（x）的值域為：[f（8），f（t）]，即[q-61，t²-16t+q+3]．
∴t²-16t+q+3-（q-61）=t²-16t+64=12-t，
化為t²-15t+52=0，解得t=

15± 17

2

，經(jīng)檢驗t=

15+ 17

2

不合題意舍去，t=

15- 17

2

滿足題意．
②當(dāng)

t＜8 8-t＜10-8 t≥0

時，即6≤t＜8時，f（x）的值域為：[f（8），f（10）]，即[q-61，q-57]，
∴q-57-（q-61）=4=12-t，解得t=8．
經(jīng)檢驗t=8不合題意，舍去．
③當(dāng)t≥8時，f（x）的值域為：[f（t），f（10）]，即[t²-16t+q+3，q-57]．
∴q-57-（t²-16t+q+3）=-t²+16t-60=12-t，
∴t²-17t+72=0，解得t=8或9．
經(jīng)檢驗t=8，9滿足題意．
所以存在常數(shù)t=8，9，

15- 17

2

（t≥0），當(dāng)x∈[t，10]時，f（x）的值域為區(qū)間D，且D的長度為12-t．

點評：熟練掌握換元法、正弦函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的單調(diào)性、零點的判定定理、分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．