Question

（1）已知f(x)=x+

1

x

，x∈[

1

10

，10]，試研究f（x）的單調(diào)性；
（2）若|lga-lgb|≤1，求證：

a

b

+

b

a

≤10

1

10

．

Answer 1

分析：（1）利用v形函數(shù)的性質(zhì)可得．
（2）先得到

a

b

的取值范圍，再利用（1）可得．

解答：解：（1）由v形函數(shù)g（x）=x+

a

x

的性質(zhì)：當(dāng)-∞＜x＜-

a

和x＞

a

時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增．當(dāng)-

a

＜x＜0和0＜x＜

a

時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減．
可得f（x）=x+

1

x

當(dāng)

1

10

≤x≤1時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)1＜x≤10時(shí)單調(diào)遞增．
所以：f（x）當(dāng)

1

10

≤x≤10時(shí)的增區(qū)間為：【

1

10

，1】，減區(qū)間為：【1，10】
（2）證明：由已知可得

1

10

＜

a

b

＜10，令

a

b

=x即可利用（1）的結(jié)論，知f（x）=x+

1

x

≤f（10）=10

1

10

故得證．

點(diǎn)評(píng)：本題考查v形函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，需要熟悉它的基本性質(zhì)，高考中有應(yīng)用．