Question

設函數(shù)f（x）=

0，                   x=0 xln|x|+mx2，x≠0

，其中實數(shù)m為常數(shù)．
（Ⅰ）求證：m=0是函數(shù)f（x）為奇函數(shù)的充要條件；
（Ⅱ） 已知函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，當x，y∈[0，e]時，求表達式z=yf（x）+xf（y）的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）m的取值應使得任意x≠0，恒有f（-x）=-f（ x），可以將m=0代入后從充分、必要兩個方面驗證．或利用函數(shù)恒成立求出m的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）當xy=0時，z=yf（x）+xf（y）=0，當x，y∈（0，e]時，z=yf（x）+xf（y）=yxlnx+xylny=xyln（xy）=f（xy），設t=xy∈（0，e²]，換元后z=f（t）=tlnt，利用函數(shù)與導數(shù)的關(guān)系求解．

解答：（Ⅰ）證明：證法一：充分性：若m=0，則f（x）=

0，          x=0 xln|x|，  x≠0

．…（1分）
①f（-0）=-f（0）=0；…（2分）
②當x≠0時，
f（-x）=（-x）ln|-x|=-xln|x|=-f（x）．∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．…（3分）
必要性：若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，則f（-x）=-f（ x）恒成立，
①當x=0時，易知成立，
②當x≠0時，f（-x）=（-x）ln|-x|+m（-x）²，f（x）=xln|x|+mx²，
∴m（-x）²=-mx²，2mx²=0，m=0．
故m=0是函數(shù)f（x）為奇函數(shù)的充要條件．…（6分）
（Ⅰ）證法二：因為f（-0）=-f（0）=0，所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù)的充要條件是?x≠0，f（-x）=-f（x）??x≠0，（-x）ln|-x|+m（-x）²=-xln|x|-mx²??x≠0，2mx²=0?m=0．
故m=0是函數(shù)f（x）為奇函數(shù)的充要條件．…（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，則f（x）=

0，          x=0 xln|x|，  x≠0

，
①當xy=0時，z=yf（x）+xf（y）=0．…（7分）
②當x，y∈（0，e]時，z=yf（x）+xf（y）=yxlnx+xylny=xyln（xy）=f（xy），…（8分）
設t=xy∈（0，e²]，z=f（t）=tlnt，f'（t）=lnt+1．…（9分）
f（t），f'（t）隨t的變換而變化的情況如下：

t	(0， 1 e )	1 e	( 1 e ，e2]
f'（t）	-	0	+
f（t）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

…（10分）
f（t）的極小值，也為最小值f(

1

e

)=-

1

e

＜0，（11分）
所以zmin=-

1

e

．…（12分）

點評：本題考查函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)恒成立參數(shù)求解，分段函數(shù)．利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和在閉區(qū)間上的最值問題，屬于中檔、常規(guī)題．涉及到了換元、分類討論的思想方法．