Question

函數(shù)f(x)=

x

x+1

的單調(diào)增區(qū)間是

（-∞，-1），（-1，+∞）

．

Answer 1

分析：首先求出函數(shù)的定義域，然后利用函數(shù)的單調(diào)性的證明方法證明函數(shù)在其定義域內(nèi)的兩個不同區(qū)間上的單調(diào)性．

解答：解：函數(shù)f(x)=

x

x+1

的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，-1），（-1，+∞）．
事實上，
函數(shù)f(x)=

x

x+1

的定義域為（-∞，-1）∪（-1，+∞）．
當(dāng)x₁＜x₂＜-1時，
f(x1)-f(x2)=

x1

x1+1

-

x2

x2+1

=

x1(x2+1)-x2(x1+1)

(x1+1)(x2+1)

=

x1x2+x1-x1x2-x2

(x1+1)(x2+1)

=

x1-x2

(x1+1)(x2+1)

．
∵x₁＜x₂＜-1，∴x₁+1＜0，x₂+1＜0，x₁-x₂＜0．
∴

x1-x2

(x1+1)(x2+1)

＜0．
則f（x₁）＜f（x₂）．
所以函數(shù)f(x)=

x

x+1

在區(qū)間（-∞，-1）上為增函數(shù)；
當(dāng)x₁＞x₂＞-1時，
f(x1)-f(x2)=

x1

x1+1

-

x2

x2+1

=

x1(x2+1)-x2(x1+1)

(x1+1)(x2+1)

=

x1x2+x1-x1x2-x2

(x1+1)(x2+1)

=

x1-x2

(x1+1)(x2+1)

．
∵x₁＞x₂＞-1，∴x₁+1＞0，x₂+1＞0，x₁-x₂＞0．
∴

x1-x2

(x1+1)(x2+1)

＞0．
則f（x₁）＞f（x₂）．
所以函數(shù)f(x)=

x

x+1

在區(qū)間（-1，+∞）上為增函數(shù)．
綜上，函數(shù)f(x)=

x

x+1

的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，-1），（-1，+∞）．
故答案為（-∞，-1），（-1，+∞）．

點評：本題考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，證明時注意因式分解要徹底，便于判斷差式的符號，該題還需要注意的是下結(jié)論時不能取并集，因此該題是易錯題．