Question

已知函數(shù)f（x）=log

1

2

2x-1

2x+1

．
（1）求函數(shù)的定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由；
（3）指出函數(shù)f（x）在區(qū)間（

1

2

，+∞）上的單調(diào)性，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)對數(shù)的真數(shù)必須大于0，解關(guān)于x的分式不等式即可得到函數(shù)的定義域；
（2）由函數(shù)奇偶性的定義，驗證可得對定義域內(nèi)任意的x，都有f（-x）=-f（x），得函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（3）設(shè)g（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，利用單調(diào)性的定義證出g（x）是定義在區(qū)間（

1

2

，+∞）上的增函數(shù)，再由

1

2

是小于1的正數(shù)，可得f（x）=log

1

2

g(x)是區(qū)間（

1

2

，+∞）上的減函數(shù)，得到本題答案．

解答：解：（1）根據(jù)題意，得

2x-1

2x+1

＞0，解之得x＜-

1

2

或x＞

1

2

∴函數(shù)的定義域是（-∞，-

1

2

）∪（

1

2

，+∞）；
（2）∵f（x）=log

1

2

2x-1

2x+1

，
∴f（-x）=log

1

2

-2x-1

-2x+1

=log

1

2

2x+1

2x-1

=log

1

2

(

2x-1

2x+1

)^-1=-log

1

2

2x-1

2x+1

，
可得f（-x）=-f（x），所以函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（3）設(shè)g（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

設(shè)

1

2

＜x₁＜x₂，則g（x₁）-g（x₂）=-4•

x2-x1

(2x1+1)(2x2+1)

，
因為

1

2

＜x₁＜x₂，所以x₂-x₁＞0，
而2x₁+1＞0且2x₂+1＞0，可得-4•

x2-x1

(2x1+1)(2x2+1)

＜0，g（x₁）＜g（x₂），
∴函數(shù)g（x）是定義在區(qū)間（

1

2

，+∞）上的增函數(shù)
又∵

1

2

∈（0，1），∴f（x）=log

1

2

g(x)是區(qū)間（

1

2

，+∞）上的減函數(shù)
綜上所述，函數(shù)f（x）在區(qū)間（

1

2

，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)．

點評：本題給出含有分式的對數(shù)型函數(shù)，求函數(shù)的定義域奇偶性和單調(diào)性．著重考查了分式函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的簡單性質(zhì)及其證明等知識，屬于中檔題．