Question

是否存在互不相等的三個數(shù)，使它們同時滿足三個條件：
①a+b+c=6；
②a、b、c成等差數(shù)列；
③將a、b、c適當(dāng)排列后，能構(gòu)成一個等比數(shù)列．

Answer 1

【答案】分析：假設(shè)滿足題中三個條件的三個數(shù)存在，根據(jù)a，b，c成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)系式，再由a+b+c=6，求出b的值，設(shè)a，b，c成等差數(shù)列的公差為d，用d表示出a，b及c，得到三個數(shù)分別為2-d，2，2+d，根據(jù)三個數(shù)都可能為等比中項(xiàng)，分三種情況考慮：當(dāng)2為等比中項(xiàng)時，利用等比數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)于d的方程，求出方程的解得到d的值，確定出a，b，c三個數(shù)，經(jīng)檢驗(yàn)不合題意；當(dāng)2-d為等比中項(xiàng)，同理求出d的值，確定出a，b及c；當(dāng)d+2是等比中項(xiàng)，同理求出d的值，確定出a，b，c，綜上，得到滿足題意的a，b及c的值．
解答：解：假設(shè)存在這樣的三個數(shù)，
∵a、b、c成等差數(shù)列，
∴2b=a+c，又a+b+c=6，
∴b=2，
設(shè)a=2-d，b=2，c=2+d，
①若2為等比中項(xiàng)，則2²=（2+d）（2-d），
∴d=0，則a=b=c，不符合題意；
②若2+d為等比中項(xiàng)，則（2+d）²=2（2-d），
解得d=0（舍去）或d=-6，
∴a=8，b=2，c=-4；
③若2-d為等比中項(xiàng)，則（2-d）²=2（2+d），
解得d=0（舍去）或d=6，
∴a=-4，b=2，c=8，
綜上所述，存在這樣的三個不相等數(shù)，同時滿足3個條件，它們是8，2，-4或-4，2，8．
點(diǎn)評：此題考查了等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，熟練掌握等差、等比數(shù)列的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．