Question

如圖，已知橢圓的中心在坐標原點，焦點F₁，F(xiàn)₂在x軸上，長軸A₁A₂的長為4，左準線l與x軸的交點為M，|MA₁|：|A₁F₁|=2：1．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若點P在直線l上運動，求∠F₁PF₂的最大值、

Answer 1

分析：（Ⅰ）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，半焦距為c，由題意能夠?qū)С鯽=2，b=

3

，c=1，故橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）設P（-4，y₀），y₀≠0設直線PF₁的斜率k₁=-

y0

3

，直線PF₂的斜率k₂=-

y0

5

，由題設知∠F1PF為銳角．由此能導出∠F₁PF₂的最大值為arctan

15

15

．

解答：解：（Ⅰ）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，半焦距為c，
則|MA1|=

a2

c

-a，|A1F1|=a-c由題意，
得

a2 c -a=2(a-c) 2a=4 a2=b2+c2

，∴a=2，b=

3

，c=1，故橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）設P（-4，y₀），y₀≠0設直線PF₁的斜率k₁=-

y0

3

，直線PF₂的斜率k₂=-

y0

5

，
∵0＜∠F1PF2＜∠PF1M＜

π

2

，∴∠F1PF為銳角．
∴tan∠F1PF2=|

k2-k1

1+k1k2

|=

2|y0|

y02+15

≤

2|y0|

2 15 |y0|

=

15

15

．
當|y0|=

15

，即y0=±

15

時，tan∠F₁PF₂取到最大值，
此時∠F₁PF₂最大，故∠F₁PF₂的最大值為arctan

15

15

．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，仔細求解．