Question

命題：“存在實(shí)數(shù)x，滿足不等式（m+1）x²-mx+m-1≤0”是假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

m＞

2 3

3

．

Answer 1

分析：由題意知“任意x∈R，使（m+1）x²-mx+m-1＞0”是真命題，分兩種情況：當(dāng)m+1等于0時(shí)，得到函數(shù)有意義，符合題意；當(dāng)m+1不等于0時(shí)，由x屬于全體實(shí)數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知拋物線的開(kāi)口向上且與x軸沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)滿足題意，所以令m+1大于0，及△小于0列出關(guān)于m的不等式，求出不等式的解集即可m的取值范圍，綜上，得到所有滿足題意的實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：∵“存在實(shí)數(shù)x，滿足不等式（m+1）x²-mx+m-1≤0”是假命題，
∴“任意x∈R，使（m+1）x²-mx+m-1＞0”是真命題，
①當(dāng)m+1=0時(shí)，（m+1）x²-mx+m-1＞0，即x-2＞0，不是對(duì)任意x∈R恒成立；
②當(dāng)m+1≠0時(shí)，?x∈R，任意x∈R，使（m+1）x²-mx+m-1＞0，
即m+1＞0且△=（-m）²-4（m+1）（m-1）＜0，
化簡(jiǎn)得：3m²＞4，解得m＞

2 3

3

或m＜-

2 3

3

，
∴m＞

2 3

3

綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是m＞

2 3

3

．
故答案為：m＞

2 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用、二次函數(shù)恒成立問(wèn)題，即根據(jù)二次函數(shù)圖象開(kāi)口方向和判別式的符號(hào)，列出等價(jià)條件求出對(duì)應(yīng)的參數(shù)的范圍．