Question

（2013•遼寧二模）給出下列命題：
①存在實(shí)數(shù)x，使sinx+cosx=

3

2

；
②若α、β是第一象限角，且α＞β，則cosα＜cosβ；
③函數(shù)y=sin(

2

3

x+

π

2

)是偶函數(shù)；
④A、B、C為銳角△ABC的三個內(nèi)角，則sinA＞cosB
其中正確命題的序號是

③④

．（把正確命題的序號都填上）

Answer 1

分析：利用兩角和與差的三角函數(shù)判斷①的正誤；利用函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的區(qū)間判斷②的正誤；
通過誘導(dǎo)公式以及函數(shù)的奇偶性判斷③的正誤；利用三角函數(shù)的單調(diào)性與誘導(dǎo)公式判斷④的正誤．

解答：解：①因?yàn)?span id="9hivmuf" class="MathJye">sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)≤

2

＜

3

2

，所以存在實(shí)數(shù)x，使sinx+cosx=

3

2

；不成立．
②若α、β是第一象限角，且α＞β，因?yàn)閥=cosx在x∈(0，

π

2

)時，函數(shù)是減函數(shù)，則cosα＜cosβ，但是α＞β不在一個單調(diào)區(qū)間時，可能cosα＞cosβ；所以②不正確；
③因?yàn)?span id="kynmxgh" class="MathJye">y=sin(

2

3

x+

π

2

)=cos

2

3

x，所以函數(shù)y=sin(

2

3

x+

π

2

)是偶函數(shù)；正確．
④A、B、C為銳角△ABC的三個內(nèi)角，因?yàn)锳+B＞

π

2

，所以A＞

π

2

-B，
所以sinA＞sin（

π

2

-B）=cosB，即sinA＞cosB，所以④正確．
正確命題是③④．
故答案為：③④．

點(diǎn)評：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，命題的真假的判斷，基本知識的應(yīng)用．