Question

【題目】已知曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離小2.

（1）求曲線的方程；

（2）過點(diǎn)且斜率為的直線交曲線于， 兩點(diǎn)，若，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）由題意得曲線是以F（0，1）為焦點(diǎn)，以y=﹣1為準(zhǔn)線的拋物線，進(jìn)而可得其方程為。（2）設(shè)直線為y=kx+1，代入拋物線方程消去y可得，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，由得，又，可構(gòu)造，由函數(shù)的單調(diào)性可得，即，解得。即為所求。

試題解析：

（1）由題意得動點(diǎn)P（x，y）到F（0，1）的距離等于它到直線y=﹣1的距離，

∴ 動點(diǎn)P的軌跡是以F（0，1）為焦點(diǎn)，以y=﹣1為準(zhǔn)線的拋物線，

設(shè)其方程為,

由條件得.

∴ 曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）由題意設(shè)直線的方程為y=kx+1，

由消去y整理得，

∵ 直線與拋物線相交，

∴，

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，

∵，即，

∴，

∴，

由可得

，

即，

∵，∴。

設(shè) ，則函數(shù)在上單調(diào)遞減。

∴，即。

由得，滿足。

∴的取值范圍為。