Question

設橢圓C1:+=1(a>b>0),拋物線C2:x2+by=b2.

(1)若C2經過C1的兩個焦點,求C1的離心率;

(2)設A(0,b),Q（3,b）,又M,N為C1與C2不在y軸上的兩個交點,若△AMN的垂心為B（0,b）,且△QMN的重心在C2上,求橢圓C1和拋物線C2的方程.

 

Answer 1

【答案】

（1） （2）+=1 x2+2y=4

【解析】

解:(1)因為拋物線C2經過橢圓C1的兩個焦點F1(-c,0),F2(c,0),

可得c2=b2,

由a2=b2+c2=2c2,

有=,

所以橢圓C1的離心率e=.

(2)由題設可知M,N關于y軸對稱,

設M(-x1,y1),N(x1,y1)(x1>0),

則由△AMN的垂心為B,有·=0.

所以-+（y1-b）(y1-b)=0.①

由于點N(x1,y1)在C2上,

故有+by1=b2.②

由①②得y1=-或y1=b(舍去),

所以x1=b,

故M（-b,-）,N（b,-）,

所以△QMN的重心坐標為（,）.

由重心在C2上得3+=b2,

所以b=2,

M（-,-）,N（,-）.

又因為M,N在C1上,

所以+=1,

解得a2=.

所以橢圓C1的方程為+=1.

拋物線C2的方程為x2+2y=4.