Question

已知在(x

x

-

1

x3

)n的展開(kāi)式中，第4項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)．
（1）求第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)；
（2）若C_n^r-1=C_n^3r-2，求r的值．

Answer 1

分析：利用二項(xiàng)式定理，令展開(kāi)式的第四項(xiàng) 中x的指數(shù)等于0，求出n
（1）第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C₉⁵，利用組合數(shù)公式計(jì)算即可．
（2）根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì) 得出r-1=3r-2，或r-1+3r-2=9，分別求解即可．

解答：解：展開(kāi)式的第四項(xiàng)T4=

C

3 n

(x

x

)n-3(-

1

x3

)3=-

C

3 n

x

3

2

(n-3)-9．
由已知，

3

2

（n-3）-9=0，n=9
（1）第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)C₉⁵=

9×8×7×6×5

5×4×3×2×1

=126．
（2）根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)，可得r-1=3r-2，或r-1+3r-2=9 解得r=

1

2

∉z，舍去．或r=3，∴r的值為3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)．牢記公式是前提，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵．