Question

已知某公司生產(chǎn)某品牌服裝的年固定成本為10萬元，每生產(chǎn)千件需另投入2.7萬元，設(shè)該公司年內(nèi)共生產(chǎn)該品牌服裝x千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為R（x）萬元，且R（x）滿足：（1）當(dāng)0＜x≤10時(shí)銷售收入與生產(chǎn)服裝的平方成一次關(guān)系，x=3千件時(shí)銷售收入為10.5萬元；x=9千件時(shí)銷售收入為8.1萬元．（2）當(dāng)x＞10時(shí)銷售收入與生產(chǎn)服裝的關(guān)系式為．
（1）寫出年利潤W（萬元）關(guān)于年出品x（千件）的函數(shù)解析式；
（2）年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該公式在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲年利潤最大？

Answer 1

解：（1）∵當(dāng)0＜x≤10時(shí)銷售收入與生產(chǎn)服裝的平方成一次關(guān)系
∴可設(shè)R（x）=kx²+b
∵x=3千件時(shí)銷售收入為10.5萬元；x=9千件時(shí)銷售收入為8.1萬元
∴
∴b=10.8，
∴當(dāng)0＜x≤10時(shí)，銷售收入與生產(chǎn)服裝的關(guān)系式為
∴0＜x≤10時(shí)，W=xR（x）-（10+2.7x）=8.1x--10；
當(dāng)x＞10時(shí)，W=xR（x）-（10+2.7x）=98--2.7x．
∴W=
（2）①當(dāng)0＜x＜10時(shí)，由W'=8.1-=0，得x=9，
且當(dāng)x∈（0，9）時(shí)，W'＞0；當(dāng)x∈（9，10）時(shí)，W'＜0，
∴當(dāng)x=9時(shí)，W取最大值，且
②當(dāng)x＞10時(shí)，
當(dāng)且僅當(dāng)，
即x=時(shí)，W=38，
故當(dāng)x=時(shí)，W取最大值38．
綜合①②知當(dāng)x=9時(shí)，W取最大值38.6萬元，故當(dāng)年產(chǎn)量為9千件時(shí)，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲年利潤最大．
分析：（1）先根據(jù)當(dāng)0＜x≤10時(shí)銷售收入與生產(chǎn)服裝的平方成一次關(guān)系，x=3千件時(shí)銷售收入為10.5萬元；x=9千件時(shí)銷售收入為8.1萬元，求出當(dāng)0＜x≤10時(shí)銷售收入與生產(chǎn)服裝的關(guān)系，再由年利潤W=年產(chǎn)量x×每千件的銷售收入為R（x）-成本．我們易得年利潤W（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千件）的函數(shù)解析式；
（2）由（1）的解析式，我們求出各段上的最大值，即利潤的最大值，然后根據(jù)分段函數(shù)的最大值是各段上最大值的最大者，即可得到結(jié)果．
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是分段函數(shù)及函數(shù)的最值，分段函數(shù)分段處理，這是研究分段函數(shù)圖象和性質(zhì)最核心的理念，具體做法是：分段函數(shù)的定義域、值域是各段上x、y取值范圍的并集，分段函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性要在各段上分別論證；分段函數(shù)的最大值，是各段上最大值中的最大者．