【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,且經(jīng)過
、
、
三點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線:
(
)與橢圓
交于
、
兩點(diǎn),證明直線
與直線
的交點(diǎn)在直線
上.
【答案】(1);(2)詳見解析.
【解析】
試題(1)當(dāng)焦點(diǎn)不確定在哪個(gè)軸時(shí),可以分別討論在軸時(shí),
,代入
點(diǎn),當(dāng)在
軸時(shí)
,代入
點(diǎn)解
或
,成立的就是橢圓方程;或直接設(shè)橢圓的一般式
,代入三點(diǎn)的坐標(biāo)解方程組;
(2)直線方程與橢圓方程聯(lián)立,設(shè)
,
,由根與系數(shù)的關(guān)系得到
和
設(shè)直線
的方程
,直線
的方程為
后有三種方法,法一,當(dāng)
時(shí)計(jì)算交點(diǎn)的縱坐標(biāo),并根據(jù)直線方程與根與系數(shù)的關(guān)系證明縱坐標(biāo)相等,法二是聯(lián)立直線
與
的方程,消去
后利用根與系數(shù)的關(guān)系得到交點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于4,法三類似于法二,只是先通過根與系數(shù)的關(guān)系先消去
,得到
與
的關(guān)系,然后再聯(lián)立兩個(gè)方程得到交點(diǎn)橫坐標(biāo)為4.
試題解析:(1)解法一:當(dāng)橢圓E的焦點(diǎn)在x軸上時(shí),設(shè)其方程為(
),
則,又點(diǎn)
在橢圓
上,得
.解得
.
∴橢圓的方程為
.
當(dāng)橢圓E的焦點(diǎn)在y軸上時(shí),設(shè)其方程為(
),
則,又點(diǎn)
在橢圓
上,得
.
解得,這與
矛盾.
綜上可知,橢圓的方程為
.
解法二:設(shè)橢圓方程為(
),
將、
、
代入橢圓
的方程,得
解得
,
.
∴橢圓的方程為
.
(2)證法一:將直線:
代入橢圓
的方程
并整理,得
,
設(shè)直線與橢圓
的交點(diǎn)
,
,
由根與系數(shù)的關(guān)系,得,
.
直線的方程為:
,它與直線
的交點(diǎn)坐標(biāo)為
,
同理可求得直線與直線
的交點(diǎn)坐標(biāo)為
.
下面證明、
兩點(diǎn)重合,即證明
、
兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等:
∵,
,
∴
.
因此結(jié)論成立.
綜上可知,直線與直線
的交點(diǎn)在直線
上.
證法二:將直線:
,代入橢圓
的方程
并整理,
得,
設(shè)直線與橢圓
的交點(diǎn)
,
,
由根與系數(shù)的關(guān)系,得,
.
直線的方程為:
,即
.
直線的方程為:
,即
.
由直線與直線
的方程消去
,得
.
∴直線與直線
的交點(diǎn)在直線
上.
證法三:將直線:
,代入橢圓方程
并整理,
得,
設(shè)直線與橢圓
的交點(diǎn)
,
,
由根與系數(shù)的關(guān)系,得,
.
消去得,
.
直線的方程為:
,即
.
直線的方程為:
,即
.
由直線與直線
的方程消去
得,
.
∴直線與直線
的交點(diǎn)在直線
上.
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A. B. 3 C.
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A.B.
C.
D.2
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,計(jì)算結(jié)果取整數(shù))
A. 1089 B. 1086 C. 434 D. 145
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【題目】如圖,在四邊形中,
,
,點(diǎn)
在
上,且
,
,現(xiàn)將
沿
折起,使點(diǎn)
到達(dá)點(diǎn)
的位置,且
與平面
所成的角為
,
(1)求證:平面平面
;
(2)求二面角的余弦值.
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【題目】已知直線,
,過點(diǎn)
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分別與直線
,
交于
,其中點(diǎn)
在第三象限,點(diǎn)
在第二象限,點(diǎn)
;
(1)若的面積為
,求直線
的方程;
(2)直線交于
點(diǎn)
,直線
交
于點(diǎn)
,若
直線的斜率均存在,分別設(shè)為
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,
.
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