Question

（2008•深圳二模）已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，點F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點，在橢圓C的右準(zhǔn)線上的點P(2，

3

)，滿足線段PF₁的中垂線過點F₂．直線l：y=kx+m為動直線，且直線l與橢圓C交于不同的兩點A、B．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若在橢圓C上存在點Q，滿足

OA

+

OB

=λ

OQ

（O為坐標(biāo)原點），求實數(shù)λ的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當(dāng)λ取何值時，△ABO的面積最大，并求出這個最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用待定系數(shù)法求橢圓的方程，設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，根據(jù)在橢圓C的右準(zhǔn)線上的點P(2，

3

)，滿足線段PF₁的中垂線過點F₂．可得幾何量之間的關(guān)系，進(jìn)而可得橢圓方程；
（Ⅱ）減法直線方程與橢圓方程聯(lián)立

y=kx+m x2+2y2=2

，消去y得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．設(shè)點A、B的坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由此可得

x1+x2=- 4km 1+2k2 x1x2= 2m2-2 1+2k2 .

，根據(jù)

OA

+

OB

=λ

OQ

，可得

xQ= 1 λ (x1+x2) yQ= 1 λ (y1+y2).

利用點Q在橢圓上，可得方程4m²（1+2k²）=λ²（1+2k²）²．進(jìn)而可確定實數(shù)λ的取值范圍
（Ⅲ）由于|AB|=

1+k2

|x1-x2|，點O到直線AB的距離d=

|m|

1+k2

，故可表示△AOB的面積，可整理成關(guān)于λ的函數(shù)S=

2

4

λ2(4-λ2)

，進(jìn)而可求△ABO的面積最大值．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，半焦距為c，
依題意有

a2 c =2 (2c)2-(2-c)2=3.

解得

c=1 a= 2 .

∴b=1．
∴所求橢圓方程為

x2

2

+y2=1．        　　　 　 …3分
（Ⅱ）由

y=kx+m x2+2y2=2

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．
設(shè)點A、B的坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則

x1+x2=- 4km 1+2k2 x1x2= 2m2-2 1+2k2 .

…5分y1+y2=k(x1+x2)+2m=

2m

1+2k2

．
（1）當(dāng)m=0時，點A、B關(guān)于原點對稱，則λ=0．
（2）當(dāng)m≠0時，點A、B不關(guān)于原點對稱，則λ≠0，
由

OA

+

OB

=λ

OQ

，得

xQ= 1 λ (x1+x2) yQ= 1 λ (y1+y2).

即

xQ= -4km λ(1+2k2) yQ= 2m λ(1+2k2) .

∵點Q在橢圓上，
∴有[

-4km

λ(1+2k2)

]2+2[

2m

λ(1+2k2)

]2=2，
化簡，得4m²（1+2k²）=λ²（1+2k²）²．
∵1+2k²≠0，
∴有4m²=λ²（1+2k²）．…①…7分
又∵△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）=8（1+2k²-m²），
∴由△＞0，得1+2k²＞m²．…②…8分
將①、②兩式，得φ（x）=2elnx（e．∵m≠0，∴λ²＜4，則-2＜λ＜2且λ≠0．
綜合（1）、（2）兩種情況，得實數(shù)λ的取值范圍是-2＜λ＜2． …9分
注：此題可根據(jù)圖形得出當(dāng)m=0時λ=0，當(dāng)A、B兩點重合時λ=±2．
如果學(xué)生由此得出λ的取值范圍是-2＜λ＜2可酌情給分．
（Ⅲ）∵|AB|=

1+k2

|x1-x2|，點O到直線AB的距離d=

|m|

1+k2

，
∴△AOB的面積S=

1

2

|m||x1-x2|=

1

2

|m|

(x1+x2)2-4x1x2

=

2 |m| 1+2k2-m2

1+2k2

．           …12分
由①有1+2k2=

4m2

λ2

，代入上式并化簡，得S=

2

4

λ2(4-λ2)

．∵

λ2(4-λ2)

≤2，
∴S≤

2

2

．                    …13分
當(dāng)且僅當(dāng)λ²=4-λ²，即λ=±

2

時，等號成立．
∴當(dāng)λ=±

2

時，△ABO的面積最大，最大值為

2

2

． …14分．

點評：本題的考點是直線與圓錐曲線的綜合問題，主要考查待定系數(shù)法求圓錐曲線的方程，要注意橢圓的三個參數(shù)的關(guān)系為：a²=b²+c²；求解直線與橢圓的位置關(guān)系問題，通常是聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理求解．