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        1. 等差數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),a1=1,前n項(xiàng)和為Sn,{bn}為等比數(shù)列,b1=1,且b2S2=6,b3S3=24,n∈N*
          (Ⅰ)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
          (Ⅱ)令Cn=
          n
          bn
          +
          1
          anan+2
          ,Tn=C1+C2+C3+…+Cn,求Tn
          ①求Tn
          ②記f(k)=
          19
          2
          -2Tk-
          k+2
          2k-2
          (k∈N*)
          ,若f(k)≥
          21
          110
          恒成立,求k的最大值.
          分析:(Ⅰ)設(shè){an}的公差為d(d>0),{bn}的公比為q,則利用b2S2=6,b3S3=24,可建立方程組,從而可求數(shù)列的公差與公比,從而可得數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
          (II)由(I)知Cn=
          n
          bn
          +
          1
          anan+2
          =
          n
          2n-1
          +
          1
          n(n+2)
          =
          n
          2n-1
          +
          1
          2
          (
          1
          n
          -
          1
          n+2
          )
          ,
          Tn=
          n
          i=1
          i
          2i-1
          +
          n
          i=1
          1
          2
          (
          1
          i
          -
          1
          i+2
          )
          n
          i=1
          i
          2i-1
          是一個典型的錯位相減法模型,
          n
          i=1
          i
          2i-1
          =4-
          n+2
          2n-1
          .
          n
          i=1
          1
          2
          (
          1
          i
          -
          1
          i+2
          )
          是一個典型的裂項(xiàng)求和法模型,由此可得結(jié)論;
          ②記f(k)=
          19
          2
          -2Tk-
          k+2
          2k-2
          (k∈N*)
          ,確定f(k)=
          19
          2
          -2Tk-
          k+2
          2k-2
          =
          2k+3
          (k+1)(k+2)
          =
          1
          k+1
          +
          1
          k+2
          在(k∈N*)上單調(diào)遞減,即可求k的最大值.
          解答:解:(Ⅰ)設(shè){an}的公差為d(d>0),{bn}的公比為q,則an=1+(n-1)d , bn=qn-1,
          依題意有
          S3b3=(3+3d)q2=24
          S2b2=(2+d)q=6
          ,∴
          d=1
          q=2
          d=-
          1
          2
          q=4
          (舍去)
          解得
          d=1
          q=2
          ,故an=n,bn=2n-1(n∈N*
          (II)由(I)知Cn=
          n
          bn
          +
          1
          anan+2
          =
          n
          2n-1
          +
          1
          n(n+2)
          =
          n
          2n-1
          +
          1
          2
          (
          1
          n
          -
          1
          n+2
          )
          ,
          Tn=
          n
          i=1
          i
          2i-1
          +
          n
          i=1
          1
          2
          (
          1
          i
          -
          1
          i+2
          )
          n
          i=1
          i
          2i-1
          是一個典型的錯位相減法模型,
          n
          i=1
          i
          2i-1
          =4-
          n+2
          2n-1
          .
          n
          i=1
          1
          2
          (
          1
          i
          -
          1
          i+2
          )
          是一個典型的裂項(xiàng)求和法模型,
          n
          i=1
          1
          2
          (
          1
          i
          -
          1
          i+2
          )=
          1
          2
          (1-
          1
          3
          +
          1
          2
          -
          1
          4
          +
          1
          3
          -
          1
          5
          +…+
          1
          n
          -
          1
          n+2
          )
          =
          1
          2
          (1+
          1
          2
          -
          1
          n+1
          -
          1
          n+2
          )=
          3
          4
          -
          2n+3
          2(n+1)(n+2)
          Tn=4-
          n+2
          2n-1
          +
          3
          4
          -
          2n+3
          2(n+1)(n+2)
          =
          19
          4
          -
          n+2
          2n-1
          -
          2n+3
          2(n+1)(n+2)

          ②記f(k)=
          19
          2
          -2Tk-
          k+2
          2k-2
          (k∈N*)
          ,
          Tn=
          19
          4
          -
          n+2
          2n-1
          -
          2n+3
          2(n+1)(n+2)
          ,
          f(k)=
          19
          2
          -2Tk-
          k+2
          2k-2
          =
          2k+3
          (k+1)(k+2)
          =
          1
          k+1
          +
          1
          k+2
          在(k∈N*)上單調(diào)遞減,
          1
          k+1
          +
          1
          k+2
          21
          110
          =
          1
          10
          +
          1
          11

          ∴k≤9,
          ∴(k)max=9.
          點(diǎn)評:本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和,考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合,考查函數(shù)的單調(diào)性,正確求通項(xiàng),用合適的方法求數(shù)列的和是關(guān)鍵.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,當(dāng)a1,d變化時,若8(a4+a6+a8)+(a10+a12+a14+a16)是一個定值,那么下列各數(shù)中也為定值的是( 。
          A、S7B、S8C、S13D、S15

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2006•咸安區(qū)模擬)等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項(xiàng)的和為Sn,當(dāng)首項(xiàng)a1和d變化時,a2+a8+a11是一個定值,則下列各數(shù)中也為定值的是( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn,若a2+a6+a10為一個確定的常數(shù),則下列各數(shù)中可以用這個常數(shù)表示的是(  )

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若a2+a4+a15是一個確定的常數(shù),則在下列各數(shù)中也是確定常數(shù)的項(xiàng)是
          (填上你認(rèn)為正確的值的序號)
          ①S7②S8③S13④S16

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a3+a9+a21的值為常數(shù),則下列各數(shù)中也是常數(shù)的是( 。

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