Question

【題目】如圖5，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明：CD⊥平面PAE；

（Ⅱ）若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐P-ABCD的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明略

（2）

【解析】

解法1（Ⅰ如圖（1）），連接AC，由AB=4，，

Ｅ是ＣＤ的中點(diǎn)，所以

所以

而內(nèi)的兩條相交直線，所以CD⊥平面PAE.

（Ⅱ）過點(diǎn)Ｂ作

由（Ⅰ）CD⊥平面PAE知，ＢＧ⊥平面PAE.于是為直線ＰＢ與平面PAE

所成的角，且.

由知，為直線與平面所成的角.

由題意，知

因?yàn)?/span>所以

由所以四邊形是平行四邊形，故于是

在中，所以

于是又梯形的面積為所以四棱錐的體積為

解法2：如圖（2），以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)則相關(guān)的各點(diǎn)坐標(biāo)為：

（Ⅰ）易知因?yàn)?/span>

所以而是平面內(nèi)的兩條相交直線，所以

(Ⅱ)由題設(shè)和（Ⅰ）知，分別是，的法向量，而PB與

所成的角和PB與所成的角相等，所以

由（Ⅰ）知，由故

解得.又梯形ABCD的面積為，所以四棱錐的體積為.