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        1. 已知
          m
          =(asinx,cosx),
          n
          =(sinx,bsinx)
          ,其中a,b,x∈R.若f(x)=
          m
          n
          滿足f(
          π
          6
          )=2
          ,且f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)的圖象關(guān)于直線x=
          π
          12
          對(duì)稱.
          (Ⅰ)求a,b的值;
          (Ⅱ)若關(guān)于x的方程f(x)+log2k=0在區(qū)間[0,
          π
          2
          ]
          上總有實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
          分析:(I)由已知中
          m
          =(asinx,cosx),
          n
          =(sinx,bsinx)
          ,f(x)=
          m
          n
          ,我們可以求出函數(shù)的解析式,及導(dǎo)函數(shù)的解析式(含參數(shù)a,b),結(jié)合已知中,f(
          π
          6
          )=2
          ,導(dǎo)函數(shù)f'(x)的圖象關(guān)于直線x=
          π
          12
          對(duì)稱,構(gòu)造關(guān)于a,b的方程組,解方程組,即可求出a,b的值.
          (II)若關(guān)于x的方程f(x)+log2k=0在區(qū)間[0,
          π
          2
          ]
          上總有實(shí)數(shù)解,即f(x)=-log2k有解,求出函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,
          π
          2
          ]
          上的值域B,再根據(jù)-log2k∈B,構(gòu)造關(guān)于k的對(duì)數(shù)方程,解方程即可求出答案.
          解答:解:(Ⅰ)f(x)=
          m
          n
          =asin2x+bsinxcosx
          =
          a
          2
          (1-cos2x)+
          b
          2
          sin2x

          f(
          π
          6
          )=2
          得,a+
          3
          b=8

          ∵f'(x)=asin2x+bcos2x,又∵f'(x)的圖象關(guān)于直線x=
          π
          12
          對(duì)稱,∴f′(0)=f′(
          π
          6
          )
          ,
          b=
          3
          2
          a+
          1
          2
          b
          ,即b=
          3
          a

          由①、②得,a=2,b=2
          3

          (Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)=1-cos2x+
          3
          sin2x
          =2sin(2x-
          π
          6
          )+1

          x∈[0,
          π
          2
          ]
          ,-
          π
          6
          ≤2x-
          π
          6
          6
          ,
          -1≤2sin(2x-
          π
          6
          )≤2
          ,f(x)∈[0,3].
          又∵f(x)+log2k=0有解,即f(x)=-log2k有解,
          ∴-3≤log2k≤0,解得
          1
          8
          ≤k≤1
          ,即k∈[
          1
          8
          ,1]
          點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是正弦型函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的解析式的求法,函數(shù)恒成立問(wèn)題,數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)形式(1)的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件,構(gòu)造關(guān)于a,b的方程組,(2)的關(guān)鍵是求出函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,
          π
          2
          ]
          上的值域B.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知
          m
          =(asinx,cosx),
          n
          =(sinx,bsinx)
          ,其中a,b,x∈R.若f(x)=
          m
          n
          滿足f(
          π
          6
          )=2,且f(x)的圖象關(guān)于直線x=
          π
          3
          對(duì)稱.
          (Ⅰ)求a,b的值;
          (Ⅱ)若關(guān)于x的方程f(x)+log2k=0在區(qū)間[0,
          π
          2
          ]上總有實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2012•上海)定義向量
          OM
          =(a,b)的“相伴函數(shù)”為f(x)=asinx+bcosx,函數(shù)f(x)=asinx+bcosx的“相伴向量”為
          OM
          =(a,b)(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)).記平面內(nèi)所有向量的“相伴函數(shù)”構(gòu)成的集合為S.
          (1)設(shè)g(x)=3sin(x+
          π
          2
          )+4sinx,求證:g(x)∈S;
          (2)已知h(x)=cos(x+α)+2cosx,且h(x)∈S,求其“相伴向量”的模;
          (3)已知M(a,b)(b≠0)為圓C:(x-2)2+y2=1上一點(diǎn),向量
          OM
          的“相伴函數(shù)”f(x)在x=x0處取得最大值.當(dāng)點(diǎn)M在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí),求tan2x0的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

          已知
          m
          =(asinx,cosx),
          n
          =(sinx,bsinx)
          ,其中a,b,x∈R.若f(x)=
          m
          n
          滿足f(
          π
          6
          )=2
          ,且f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)的圖象關(guān)于直線x=
          π
          12
          對(duì)稱.
          (Ⅰ)求a,b的值;
          (Ⅱ)若關(guān)于x的方程f(x)+log2k=0在區(qū)間[0,
          π
          2
          ]
          上總有實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

          已知
          m
          =(asinx,cosx),
          n
          =(sinx,bsinx)
          ,其中a,b,x∈R.若f(x)=
          m
          n
          滿足f(
          π
          6
          )=2,且f(x)的圖象關(guān)于直線x=
          π
          3
          對(duì)稱.
          (Ⅰ)求a,b的值;
          (Ⅱ)若關(guān)于x的方程f(x)+log2k=0在區(qū)間[0,
          π
          2
          ]上總有實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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