Question

如圖，F(xiàn)是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)，A，B是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，橢圓的離心率為

1

2

．點(diǎn)C在x軸上，BC⊥BF，B，C，F(xiàn)三點(diǎn)確定的圓M的半徑為2．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)A的直線l與圓M交于P、Q兩點(diǎn)，且

MP

•

MQ

=-2求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知c=1，a=2，b=

3

，由此可知所求的橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（II）點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），圓M的方程為（x-1）²+y²=4，過點(diǎn)A斜率不存在的直線與圓不相交，設(shè)直線l₂的方程為y=k（x+2．由此入手可知所求直線的方程為x+2

2

y+2=0或X-2

2

y+2=0．

解答：解：（Ⅰ）F（-c，0），
∵橢圓的離心率為

1

2

，
∴∠FBO=300，∴b=

3

c，
∴B（0，

3

c），C（3c，0）
∴FC=4c=4，解得c=1，a=2，b=

3

∴所求的橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1；（6分）
（II）點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），
圓M的方程為（x-1）²+y²=4，
過點(diǎn)A斜率不存在的直線與圓不相交，
設(shè)直線l₂的方程為y=k（x+2），（7分）
∵

MP

•

MQ

=-2，又|

MP

|=|

MQ

|=2，
∴cos＜MP，MQ＞=

MP • MQ

| MP |•| MQ |

=-

1

2

． （9分）
∴∠PMQ=120°，圓心M到直線l₂的距離d=

1

2

r=1，
所以

|k+2k|

k2+1

=1，
∴k=±

2

4

；
所求直線的方程為x+2

2

y+2=0或X-2

2

y+2=0． （12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和橢圓的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．