Question

已知直線l₁過點(diǎn)B（0，-6）且與直線2x-3λy=0平行，直線l₂經(jīng)過定點(diǎn)A（0，6）且斜率為-

2λ

3

，直線l₁與l₂相交于點(diǎn)P，其中λ∈R，
（1）當(dāng)λ=1時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（2）試問：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)E、F，使得|PE|+|PF|為定值，若存在，求出E、F的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)λ=1時(shí)，根據(jù)條件分別寫出兩直線的方程，聯(lián)立即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（2）由條件可得KPB×KPA=-

4

9

，由課本橢圓一節(jié)的例題可知，點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)橢圓，求出其方程，再求出其焦點(diǎn)，即選為點(diǎn)E、F，則可滿足條件．

解答：解：（1）當(dāng)λ=1時(shí)，直線2x-3λy=0即2x--3y=0，
∵l₁與此直線平行，∴可設(shè)直線l₁的方程為2x-3y+c=0，
又直線l₁過點(diǎn)B（0，-6），將其代入得0-3×（-6）+c=0，解得c=-18．∴直線l₁的方程為 2x-3y-18=0．
∵直線l₂經(jīng)過定點(diǎn)A（0，6）且斜率為-

2λ

3

，即-

2

3

，∴直線l₂的方程為y-6=-

2

3

x，即2x+3y-18=0．
聯(lián)立

2x-3y-18=0 2x+3y-18=0

 解得

x=9 y=0

．即點(diǎn)P（9，0）．
（2）∵直線l₁與直線2x-3λy=0平行，∴當(dāng)λ≠0時(shí)，直線l₁的斜率為

2

3λ

，
而直線l₂斜率為-

2λ

3

，又

2

3λ

×(-

2λ

3

)=-

4

9

．
設(shè)點(diǎn)P（x，y），則KPB×KPA=-

4

9

，于是

y+6

x

×

y-6

x

=-

4

9

（x≠0），化為

x2

81

+

y2

36

=1（x≠0）．
當(dāng)λ=0時(shí)，直線l₁即為y軸，直線l₂即為y=6，
∴二直線交于點(diǎn)（0，6），
∴點(diǎn)P的軌跡為橢圓

x2

81

+

y2

36

=1（去掉點(diǎn)（0，-6））．
綜上可知：取點(diǎn)E（3

5

，0），F(xiàn)（-3

5

，0），則滿足|PE|+|PF|為定值．

點(diǎn)評：本題考查了直線與直線平行及相交以及橢圓的定義，理解和掌握以上知識(shí)與解題方法是解此題的關(guān)鍵．