Question

【題目】如圖，在四棱錐中，，，，，.

（1）證明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）取的中點，連接、，利用勾股定理逆定理證明出，，利用線面垂直的判定定理得出平面，然后利用面面垂直的判定定理可得出結(jié)論；

（2）以點為坐標(biāo)原點，、所在直線分別為、軸，以過點且垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用空間向量法能求出二面角的余弦值.

（1）取的中點，連接、，

，，為的中點，則，

又，即，又，所以，四邊形為矩形，

，且，，

，，，則.

，，則為等邊三角形，則，

，則，

，平面，平面，因此，平面平面；

（2）由（1）知，四邊形為矩形，則，

以點為坐標(biāo)原點，、所在直線分別為、軸，以過點且垂直于平面的直線為軸，建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系，

則、、，，，

設(shè)平面的法向量為，

由，令，則，，

所以，平面的一個法向量為，

易知平面的一個法向量為，，

由圖象可知，二面角的平面角為銳角，它的余弦值為.