Question

【題目】已知圓和直線l:

(1)證明：不論取何值時(shí)，直線和圓總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；

(2)求當(dāng)取何值時(shí)，直線被圓截得的弦最短，并求最短的弦長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）時(shí)有最短弦長為.

【解析】

1根據(jù)直線l方程可知直線l恒過定點(diǎn)，求出距離小于半徑，知定點(diǎn)M在圓內(nèi)，即可得直線l與圓C必相交；2當(dāng)直線直線MC時(shí)，直線l被圓C截得的弦長最短，求直線MC的斜率，得直線l斜率，利用垂徑定理，勾股定理求出最短弦長即可．

1證明：根據(jù)題意得：直線

即恒過點(diǎn)，

圓心，半徑為4，

，

在圓內(nèi)，則直線l與圓C必相交；

2當(dāng)直線直線MC時(shí)，直線l被圓C截得的弦長最短，

，則直線MC的方程為：，即，

直線l斜率為2，直線l過點(diǎn)M，

直線l方程為，即；

根據(jù)題意得：最短弦長為．

即時(shí)有最短弦長為.