Question

在圓x²+y²=5x內(nèi)，過(guò)點(diǎn)(

5

2

，

3

2

)有n（n∈N^*）條弦，它們的長(zhǎng)構(gòu)成等差數(shù)列，若a₁為過(guò)該點(diǎn)最短弦的長(zhǎng)，a_n為過(guò)該點(diǎn)最長(zhǎng)弦的長(zhǎng)，公差d∈(

1

5

，

1

3

)，那么n的值是

 

．

Answer 1

分析：由“r，d”法分別求得最短和最長(zhǎng)弦長(zhǎng)，即得到等差數(shù)列首項(xiàng)和未項(xiàng)，由等差數(shù)列通項(xiàng)公式結(jié)合公差d∈(

1

5

，

1

3

)，確定n的范圍從而求得．

解答：解：x2+y2=5x?(x-

5

2

)2+y2=

25

4

?圓心C(

5

2

，0)，半徑R=

5

2

，
故與PC垂直的弦是最短弦，所以a1=2

R2-( PC 2 )2

=4，
而過(guò)P、C的弦是最長(zhǎng)弦，所以a_n=2R=5，
由等差數(shù)列an=a1+(n-1)d?5=4+(n-1)d?d=

1

n-1

，d∈(

1

5

，

1

3

)?4＜n＜6，
因n∈N*，所以n=5，
故答案為：5．

點(diǎn)評(píng)：本題在考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式中滲透了直線與圓的位置關(guān)系和數(shù)域的應(yīng)用．