Question

已知函數f（x）=x³+3ax-1，g（x）=f′（x）-ax-5，其中f′（x）是的f（x）的導函數．
（Ⅰ）對滿足-1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）＜0，求實數x的取值范圍；
（Ⅱ）設a=-m²，當實數m在什么范圍內變化時，函數y=f（x）的圖象與直線y=3只有一個公共點．

Answer 1

分析：（I ）將g（x）=3x²-ax+3a-5＜0對滿足-1≤a≤1的一切a的值成立，轉化為令（3-x）a+3x²-5＜0，-1≤a≤1成立解決．
（Ⅱ）函數y=f（x）的圖象與直線y=3只有一個公共點．關鍵是畫出函數y=f（x）的圖象，方法是先f′（x）=3x²-3m^2_分①當m=0時，f（x）=x³-1的圖象與直線y=3只有一個公共點②當m≠0時，求得極值，明確關鍵點，再利用圖象間的關系求解．

解答：解：（Ⅰ）由題意g（x）=3x²-ax+3a-5
令φ（x）=（3-x）a+3x²-5，-1≤a≤1
對-1≤a≤1，恒有g（x）＜0，即φ（a）＜0
∴

φ(1)＜0 φ(-1)＜0

即

3x2-x-2＜0 3x2+x-8＜0

解得-

2

3

＜x＜1
故x∈(-

2

3

，1)時，對滿足-1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）＜0
（Ⅱ）f′（x）=3x²-3m²
①當m=0時，f（x）=x³-1的圖象與直線y=3只有一個公共點
②當m≠0時，f（x）_極小=f（|x|）=-2m²|m|-1＜-1
又∵f（x）的值域是R，且在（|m|，+∞）上單調遞增
∴當x＞|m|時函數y=f（x）的圖象與直線y=3只有一個公共點．
當x＜|m|時，恒有f（x）≤f（-|m|）
由題意得f（-|m|）＜3
即2m²|m|-1=2|m|³-1＜3
解得m∈(-

3	2

，0)∪(0，

3	2

)
綜上，m的取值范圍是(-

3	2

，

3	2

)

點評：本小題主要考查函數的單調性、導數的應用、解不等式等基礎知識，以及推理能力、運算能力和綜合應用數學知識的能力．