Question

已知點(diǎn)M（0，1）、A（1，1）、B（0，2），且

MP

=cosθ•

MA

+sinθ•

MB

(θ∈R)．
（I）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（II）求過(guò)Q（1，3）與（1）中軌跡相切的直線方程．

Answer 1

分析：（I）利用坐標(biāo)表示向量，利用向量的數(shù)量積，可得坐標(biāo)之間的關(guān)系，進(jìn)而可得點(diǎn)P的軌跡方程；
（II）分類討論，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求得結(jié)論．

解答：解：（I）設(shè)P（x，y），則

MP

=（x，y-1），
又

MA

=（1，0），

MB

=（0，1），

MP

=cosθ•

MA

+sinθ•

MB

(θ∈R)
∴有（x，y-1）=（cosθ，sinθ），
∴

x=cosθ y-1=sinθ

，x²+（y-1）²=1．
（II）當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線方程為x=1，滿足題意；
當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y-3=k（x-1），即kx-y-k+3=0
∵直線與圓相切，∴

|2-k|

k2+1

=1，∴k=

3

4

∴切線方程為3x-4y+9=0
綜上，所求切線方程為x=1或3x-4y+9=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．