Question

【題目】已知?jiǎng)訄A的圓心為點(diǎn)，圓過(guò)點(diǎn)且與被直線截得弦長(zhǎng)為．不過(guò)原點(diǎn)的直線與點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn)，且．

（1）求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）求三角形面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）．（2）16

【解析】

（1）設(shè)，根據(jù)圓的相交弦長(zhǎng)公式，即可得出關(guān)系；

（2）由（1）得，曲線方程為，根據(jù)已知可得，設(shè)直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立，得，利用根與系數(shù)關(guān)系，將三角形面積表示為的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)特征，即可求出最小值.

（1）設(shè)，圓的半徑

圓到直線的距離

由于圓被直線截得弦長(zhǎng)為，所以

即，化簡(jiǎn)得，

所以點(diǎn)的軌跡方程為．

（2）由知（或）

解法一：設(shè)直線的方程為

由消去得

即

，

由即，即

由于，所以，

所以解得

所以直線方程為恒過(guò)定點(diǎn)

三角形面積

當(dāng)時(shí)，

所以三角形面積的最小值為16．

解法二：設(shè)

直線的方程為，則直線的方程為

由，解得即，

所以

同理可得

三角形面積

下面提供兩種求最小值的思路：

思路1：利用基本不等式

，

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，

所以三角形面積的最小值為16．

思路2：用導(dǎo)數(shù)

不妨設(shè)，則，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

所以當(dāng)時(shí)，

所以三角形面積的最小值為16．