Question

已知函數(shù)f（x）=2sinx[a•sin（x+

π

2

）+

1

2

sinx]-

1

2

（x∈R）的圖象關(guān)于直線x=

π

3

對(duì)稱．求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：將 函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及輔助角公式即可得到結(jié)論．

解答： 解：f（x）=2sinx[a•sin（x+

π

2

）+

1

2

sinx]-

1

2

=2asinxcosx-

1

2

（1-2sin²x）=asin2x-

1

2

cos2x，
∵函數(shù)f（x）=2sinx[a•sin（x+

π

2

）+

1

2

sinx]-

1

2

（x∈R）的圖象關(guān)于直線x=

π

3

對(duì)稱，
∴當(dāng)x=

π

3

時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值或最小值±

a2+(- 1 2 )2

，
即asin

2π

3

-

1

2

cos

2π

3

=±

a2+(- 1 2 )2

，
整理得4a²-4

3

a+3=0，
解得a=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用輔助角公式是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計(jì)算能力．