Question

已知函數(shù)f（x）=log₂（x²+1）（x≥0），g(x)=

x-a

 ， ( a∈R )．
（1）試求函數(shù)f（x）的反函數(shù)f^-1（x）；
（2）函數(shù)h（x）=f^-1（x）+g（x），求h（x）的定義域，并判斷函數(shù)h（x）的增減性；
（3）（理）若（2）中函數(shù)h（x），有h（x）≥2在定義域內(nèi)恒成立，求a的范圍．
（文）若（2）中函數(shù)h（x）的最小值為3，試求a的值．

Answer 1

（1）令y=f（x）=log₂（x²+1）（x≥0），
∴x²+1=2^y即x=

2y-1

（y≥0）
∴f-1(x)=

2x-1

 (x≥0)．
（2）h(x)=f-1(x)+g(x)=

2x-1

  +

x-a

，a＜0時，定義域?yàn)閇0，+∞）；a≥0時，定義域?yàn)閇a，+∞）；
此函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增（∵f^-1（x）與g（x）在公共定義域內(nèi)均為增函數(shù)，∴它們的和也為增函數(shù)）．
（3）（理）當(dāng)a≥0時，由h(x)min=h(a)=

2a-1

≥2?a≥log₂5．
當(dāng)a＜0時，由h(x)min=h(0)=

-a

≥2?a≤-4．∴a的取值范圍是（-∞，-4]∪[log₂5，+∞）．
（文）當(dāng)a≥0時，由h(x)min=h(a)=

2a-1

=3?log210；
當(dāng)a＜0時，由h(x)min=h(0)=

-a

=3?a=-9．∴所求的a的值為a=log₂10或a=-9．