Question

【題目】已知三次函數(shù)在和處取得極值，且在處的切線(xiàn)方程為.

（1）若函數(shù)的圖象上有兩條與軸平行的切線(xiàn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若函數(shù)與在上有兩個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

(1)求導(dǎo)后根據(jù),且,可求得切線(xiàn)方程為,代入切點(diǎn)即可求得,進(jìn)而得到,再根據(jù)函數(shù)的圖象上有兩條與軸平行的切線(xiàn)可知有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,進(jìn)而利用判別式求解即可.

(2)題意等價(jià)于在上有兩個(gè)不同的解.構(gòu)造,,求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性與最值,進(jìn)而數(shù)形結(jié)合可求得的取值范圍即可.

（1）,

由題得,且,

即解得,.

于是,即,

故切線(xiàn)方程為.

因?yàn)榍悬c(diǎn)在切線(xiàn)上,所以,

將代入,解得,

.

.

由題得有兩個(gè)不相等的實(shí)根,

,

解得.

（2）由題得在上有兩個(gè)不同的解,

即在上有兩個(gè)不同的解.

令,,

則,

由得或,

由得,

因?yàn)?/span>,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,

.

,,

,

由圖象知.