Question

（2010•廣東模擬）已知等比數(shù)列{x_n}的各項(xiàng)為不等于1的正數(shù)，數(shù)列{y_n}滿足

yn

logaxn

=2（a＞0，且a≠1），設(shè)y₃=18，y₆=12．
（1）數(shù)列{y_n}的前多少項(xiàng)和最大，最大值是多少？
（2）試判斷是否存在自然數(shù)M，使得n＞M時(shí)，x_n＞1恒成立，若存在，求出最小的自然數(shù)M，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）由數(shù)列{y_n}滿足

yn

logaxn

=2（a＞0，且a≠1），知y_n=2log_ax_n，y_n+1=2log_ax_n+1，則y_n+1-y_n=2（log_ax_n+1-log_ax_n）=2log_a（

xn+1

xn

）．由{x_n}為等比數(shù)列，知{y_n}為等差數(shù)列．由y₃=18，y₆=12，得S_n=22n+

n(n-1)

2

•（-2）=-n²+23n．?dāng)?shù)列{y_n}的前多少項(xiàng)和最大和相應(yīng)的最大值是多少．
（2）由y_n=22+（n-1）（-2）=2log_ax_n，知x_n=a^12-n．又x_n=a^12-n＞1，由此能夠?qū)С霎?dāng)0＜a＜1時(shí)，存在M=12，當(dāng)n＞M時(shí)，x_n＞1恒成立．

解答：解：（1）∵數(shù)列{y_n}滿足

yn

logaxn

=2（a＞0，且a≠1），
∴y_n=2log_ax_n，y_n+1=2log_ax_n+1，
則y_n+1-y_n=2（log_ax_n+1-log_ax_n）=2log_a（

xn+1

xn

）．
∵{x_n}為等比數(shù)列，
∴

xn+1

xn

為定值．
∴{y_n}為等差數(shù)列．
∵y₃=18，y₆=12，
∴y₆-y₃=3d=12-18，
∴d=-2，y₁=y₃-2d=22．
∴S_n=22n+

n(n-1)

2

•（-2）=-n²+23n．
∴當(dāng)n=11或n=12時(shí)，S_n取得最大值，且最大值為132．
（2）∵y_n=22+（n-1）（-2）=2log_ax_n，
∴x_n=a^12-n．又x_n=a^12-n＞1，
當(dāng)a＞1時(shí)，12-n＞0，n＜12；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，12-n＜0，n＞12．
綜上所述，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，存在最小的自然數(shù)M=12，使得當(dāng)n＞M時(shí)，x_n＞1恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．