Question

（2012•杭州一模）設(shè)x、y∈R，a＞1，b＞1，若a^x=b^y=2，a+

b

=4，則

2

x

+

1

y

的最大值為

4

．

Answer 1

分析：由題意可得，

2

x

+

1

y

=log2a2b，利用基本不等式可求得a²b≤16，從而可得答案．

解答：解：∵a＞1，b＞1，若a^x=b^y=2，
∴x=log_a2，y=log_b2，
∴

1

x

=log₂a，

1

y

=log₂b，
∴

2

x

+

1

y

=log2a2b；
又4=a+

b

≥2

a b

，又a＞1，b＞1，
∴0＜a

b

≤4，
∴a²b≤16（當(dāng)且僅當(dāng)a=2，b=4時取“=”）．
∴log2a2b≤4．
故答案為：4．

點評：本題考查對數(shù)的概念，考查基本不等式，求得a²b≤16是難點，也是關(guān)鍵，屬于中檔題．