Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左焦點F為圓x²+y²+2x=0的圓心，且橢圓上的點到點F的距離最小值為

2

-1．
（I）求橢圓方程；
（II）已知經(jīng)過點F的動直線l與橢圓交于不同的兩點A、B，點M（-

5

4

，0），證明：

MA

•

MB

為定值．

Answer 1

分析：（I）先求出圓心坐標，再根據(jù)題意求出a、b，得橢圓的標準方程．
（II）根據(jù)直線的斜率是否存在，分情況設(shè)直線方程，再與橢圓方程聯(lián)立方程組，設(shè)出交點坐標，結(jié)合韋達定理根與系數(shù)的關(guān)系，利用向量坐標運算驗證．

解答：解：（I）∵圓x²+y²+2x=0的圓心為（-1，0），依據(jù)題意c=1，a-c=

2

-1，∴a=

2

．
∴橢圓的標準方程是：

x2

2

+y²=1；
（II）①當直線L與x軸垂直時，L的方程是：x=-1，
 得A（-1，

2

2

），B（-1，-

2

2

），

MA

•

MB

=（

1

4

，

2

2

）•（

1

4

，-

2

2

）=-

7

16

．

②當直線L與x軸不垂直時，設(shè)直線L的方程為 y=k（x+1）

y=k(x+1) x2 2 +y2=1

⇒（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁x₂=

2k2-2

1+2k2

，x₁+x₂=-

4k2

1+2k2

，

MA

•

MB

=（x₁+

5

4

，y₁）•（x₂+

5

4

，y₂）=x₁x₂+

5

4

（x₁+x₂）+

25

16

+k²（x₁x₂+x₁+x₂+1）
=（1+k²）x₁x₂+（k²+

5

4

）（x₁+x₂）+k²+

25

16

=（1+k²）（

2k2-2

1+2k2

）+（k²+

5

4

）（-

4k2

1+2k2

）+k²+

25

16

=

-4k2-2

1+2k2

+

25

16

=-2+

25

16

=-

7

16

綜上

MA

•

MB

為定值-

7

16

．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題及向量坐標運算．根據(jù)韋達定理，巧妙利用根與系數(shù)的關(guān)系設(shè)而不求，是解決本類問題的關(guān)鍵．