Question

湖南省環(huán)保研究所對長沙市中心每天環(huán)境放射性污染情況進行調(diào)查研究后，發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合放射性污染指數(shù)與時刻x的關(guān)系為，其中a是與氣象有關(guān)的參數(shù)，且，若用每天的最大值作為當天的綜合放射性污染指數(shù)，并記作.
(Ⅰ)令，求t的取值范圍；
(Ⅱ)省政府規(guī)定，每天的綜合放射性污染指數(shù)不得超過2，試問目前市中心的綜合放射性污染指數(shù)是否超標？

Answer 1

(Ⅰ) ；(Ⅱ) 當時不超標，當時超標.

試題分析：(Ⅰ)由題意容易知最小值為0，然后由基本不等式得，從而可得t的取值范圍；(Ⅱ)將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù).然后結(jié)合t的取值范圍分段求出函數(shù)單調(diào)性，從而得到其最大值，即.再通過在中解不等式得到時不超標，當時超標的結(jié)論.
試題解析：(Ⅰ)當時，，當，（當且僅當時取等號）
，故t的取值范圍；
(Ⅱ)當時，記，
因為在上遞減，在上遞增，且.

令，解得.
所以當時不超標，當時超標.