Question

如圖，已知橢圓：，過點(diǎn)F（4，0）作兩條互相垂直的弦AB，CD，設(shè)弦AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N．
（1）線段MN是否恒過一個定點(diǎn)？如果經(jīng)過定點(diǎn)，試求出它的坐標(biāo)，如果不經(jīng)過定點(diǎn)，試說明理由；
（2）求分別以AB，CD為直徑的兩圓公共弦中點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出直線AB的方程，代入橢圓方程消去x，設(shè)A，B的坐標(biāo)，根據(jù)韋達(dá)定理可求得y₁+y₂的表達(dá)式，根據(jù)直線方程可求得x₁+x₂的表達(dá)式，進(jìn)而可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)AB⊥CD，將t換成，即可求得N的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得MN的直線方程，把y=0代入直線方程求得x=進(jìn)而可推斷出直線MN橫過．
（2）根據(jù)（1）可表示出以AB為直徑的圓的方程，進(jìn)而依據(jù)AB⊥CD，將t換成，即可表示出直線CD的方程，兩方程相減即可求得公共弦所在的方程，與直線MN方程聯(lián)解消去即可求得x和y的關(guān)系是，即以AB，CD為直徑的兩圓公共弦中點(diǎn)的軌跡方程．
解答：解：（1）設(shè)直線AB的方程為：并整理得：
（9t²+25）y²+72ty-81=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有：，
所以點(diǎn)
∵AB⊥CD，
∴將t換成，即得：
由兩點(diǎn)式得直線MN的方程為
當(dāng)y=0時，，所以直線MN恒過定點(diǎn)．
（2）以弦AB為直徑的圓M的方程為：①
又∵AB⊥CD，
∴將t換成，即得以弦CD為直徑的圓N的方程為：②
①-②得兩圓公共弦所在直線方程為：③
又直線MN的方程為：④
聯(lián)解③④，消去，得兩圓公共弦中點(diǎn)的軌跡方程為：．
其軌跡是過定點(diǎn)的圓．
點(diǎn)評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了考生分析推理和基本的運(yùn)算能力．