Question

如圖，已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2

2

，其右焦點F是圓（x-1）²+y²=1的圓心．
（1）求橢圓方程；
（2）過所求橢圓上的動點P作圓的兩條切線分別交y軸于M（0，m），N（0，n）兩點，當(dāng)|m-n|=2

2 -1

時，求此時點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）先利用圓心坐標(biāo)求出焦點坐標(biāo)以及c值，再利用離心率求出a，即可求出橢圓方程．
（2）先利用條件求出直線PM的方程，再利用直線PM與圓相切求出m與點P坐標(biāo)之間的關(guān)系，同樣求出n與點P坐標(biāo)之間的關(guān)系，再把所求代入已知并利用點P在橢圓上，可以求出點P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）因為圓（x-1）²+y²=1的圓心是（1，0），
所以橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的右焦點為F（1，0），
∴橢圓的離心率是

2

2

，
∴

c

a

=

2

2

∴a²=2，b²=1，所以橢圓方程為

x2

2

+y2=1．（4分）
（2）設(shè)P（x₀，y₀），
由

x2 2 +y2=1 (x-1)2+y2=1

，
得x=2-

2

或x=2+

2

（舍），
∴x0∈[-

2

，0)∪(0，2-

2

)．（5分）
直線PM的方程：y-m=

y0-m

x0

x，
化簡得（y₀-m）x-x₀y+x₀m=0．
又圓心F（1，0）到直線PM的距離為1，
∴

|y0-m+x0m|

(y0-m)2+x02

=1
∴（y₀-m）²+x₀²=（y₀-m）²+2x₀m（y₀-m）+x₀²m²
化簡得：（x₀-2）m²+2y₀m-x₀=0，（7分）
同理：（x₀-2）n²+2y₀n-x₀=0m+n=-

2y0

x0-2

，m•n=

-x0

x0-2

（9分）
∴|m-n|=

(m-n)2

=

(m+n)2-4mn

=

4x02+4y02-8x0 (x0-2)2

∵P（x₀，y₀）在橢圓上∴

x02

2

+y02=1
∴|m-n|=

2- 4 (x0-2)2

=2

2 -1

，（11分）
∴2-

4

(x0-2)2

=4(

2

-1)，∴x0=4+

2

（舍）或x0=-

2

∴P(-

2

，0)
所以，此時點P的坐標(biāo)是(-

2

，0)．（12分）．

點評：本題的易錯點在與忘記看點P所在位置，而把兩個結(jié)果都要．