Question

（2013•嘉興一模）己知拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F，若點(diǎn)A，B是該拋物線上的點(diǎn)，∠AFB=

π

2

，線段AB的中點(diǎn)M在拋物線的準(zhǔn)線上的射影為N，則

|MN|

|AB|

的最大值為

2

2

．

Answer 1

分析：設(shè)|AF|=a、|BF|=b，由拋物線定義結(jié)合梯形的中位線定理，得2|MN|=a+b．再由勾股定理得|AB|²=a²+b²，結(jié)合基本不等式求得|AB|的范圍，從而可得

|MN|

|AB|

的最大值．

解答：解：設(shè)|AF|=a，|BF|=b，A、B在準(zhǔn)線上的射影點(diǎn)分別為Q、P，連接AQ、BQ　　
由拋物線定義，得AF|=|AQ|且|BF|=|BP|
在梯形ABPQ中根據(jù)中位線定理，得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．
由勾股定理得|AB|²=a²+b²，配方得|AB|²=（a+b）²-2ab，
又∵ab≤（

a+b

2

） ²，
∴（a+b）²-2ab≥（a+b）²-2×（

a+b

2

） ²=

1

2

（a+b）²
得到|AB|≥

2

2

（a+b）．
所以

|MN|

|AB|

≤

1 2 (a+b)

2 2 (a+b)

=

2

2

，即

|MN|

|AB|

的最大值為

2

2

．
故答案為：

2

2

點(diǎn)評：本題給出拋物線的弦AB對焦點(diǎn)F所張的角為直角，求AB中點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離與AB比值的取值范圍，著重考查了拋物線的定義與簡單幾何性質(zhì)、梯形的中位線定理和基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．