Question

已知定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且與直線相切的動(dòng)圓圓心為點(diǎn)M，記點(diǎn)M的軌跡為曲線E.
（1）求曲線E的方程；
（2）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為，與曲線E相交于B，C兩點(diǎn)，直線AB，AC分別交直線于點(diǎn)S，T.試判斷以線段ST為直徑的圓是否恒過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)？若是，求這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）.（2）以線段為直徑的圓恒過(guò)兩個(gè)定點(diǎn).

試題分析：（1）根據(jù)拋物線的定義可知，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn), 為準(zhǔn)線的拋物線.        
可得曲線的方程為.
（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，依題意得，.
由消去得，
應(yīng)用韋達(dá)定理.
直線的斜率，
故直線的方程為.                  
令，得，
得到點(diǎn)的坐標(biāo)為.點(diǎn)的坐標(biāo)為.               
得到.
設(shè)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
而
.     
故以線段為直徑的圓的方程為.
令，得，解得或.           
確定得到以線段為直徑的圓恒過(guò)兩個(gè)定點(diǎn).
（1）由題意, 點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于它到直線的距離,
故點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn), 為準(zhǔn)線的拋物線.        
∴曲線的方程為.                                  4分
（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，依題意得，.
由消去得，
∴.                                    6分 
直線的斜率，
故直線的方程為.                  
令，得，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.                   
同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為.               
∴
.  
∴.            8分
設(shè)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
則
.     
∴以線段為直徑的圓的方程為.
展開(kāi)得.                 11分        
令，得，解得或.           
∴以線段為直徑的圓恒過(guò)兩個(gè)定點(diǎn).            13分