Question

判斷下列函數(shù)的奇偶性：
（Ⅰ）f（x）=x⁵+5x；

奇函數(shù)

（Ⅱ）f（x）=x⁴+2x²-1；

偶函數(shù)

（Ⅲ）y=

x2-1

+

1-x2

；

即是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

（Ⅳ）f（x）=2x²-1，x∈[-2，3]．

非奇非偶函數(shù)

．

Answer 1

分析：（I）先判斷f（x）=x⁵+5x的定義域是否關于原點對稱，再判斷f（-x）與f（x）的關系，根據(jù)奇函數(shù)的定義可得結論；
（II）先判斷f（x）=x⁴+2x²-1的定義域是否關于原點對稱，再判斷f（-x）與f（x）的關系，根據(jù)偶函數(shù)的定義可得結論；
（III）先判斷y=

x2-1

+

1-x2

的定義域是否關于原點對稱，再判斷f（-x）與f（x）的關系，根據(jù)奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義可得結論；
（IV）根據(jù)f（x）=2x²-1，x∈[-2，3]的定義域不關于原點對稱，可得結論；

解答：解：（Ⅰ）f（x）=x⁵+5x的定義域R關于原點對稱
且f（x）=-x⁵-5x=-f（x）
故f（x）=x⁵+5x為奇函數(shù)
（Ⅱ）f（x）=x⁴+2x²-1的定義域R關于原點對稱；
且f（-x）=x⁴+2x²-1=f（x）
故函數(shù)f（x）=x⁴+2x²-1為偶函數(shù)
（Ⅲ）y=

x2-1

+

1-x2

的定義域{-1，1}關于原點對稱；
且f（-1）=f（1）=0
即f（-x）=f（x）且f（-x）=-f（x）
故函數(shù)y=

x2-1

+

1-x2

即是奇函數(shù)又是偶函數(shù)
（Ⅳ）f（x）=2x²-1，x∈[-2，3]的定義域不關于原點對稱；
故函數(shù)f（x）=2x²-1，x∈[-2，3]是非奇非偶函數(shù)
故答案為：奇函數(shù)，偶函數(shù)，即是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，非奇非偶函數(shù)

點評：本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性的判斷，熟練掌握函數(shù)奇偶性的判斷方法是解答的關鍵．