Question

【題目】已知，函數(shù).

（1）是函數(shù)數(shù)的導函數(shù)，記，若在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；

（2）設實數(shù)，求證：對任意實數(shù)，總有成立.

附：簡單復合函數(shù)求導法則為.

Answer 1

【答案】（1）

（2）證明見解析

【解析】

（1）由題得，再對a分兩種情況討論結(jié)合導數(shù)得解；（2）不妨設，取為自變量構(gòu)造函數(shù)，再證明，即證得.

（1）由已知得，記，則.

①若，，在定義域上單調(diào)遞增，符合題意；

②若，令解得，自身單調(diào)遞增，

要使導函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，

則需，解得，

此時導函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞減函數(shù).

綜合①②得使導函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)的的取值范圍是.

（2）因為，不妨設，取為自變量構(gòu)造函數(shù)，

，則其導數(shù)為

在R上單調(diào)遞增

而且，

所以，

即.

故關于的函數(shù)單調(diào)遞增，

即證得.