Question

已知函數(shù)（其中）.
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)在上有且只有一個零點，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）.

解析試題分析：（1）先求函數(shù)的定義域與導(dǎo)數(shù)，對是否在定義域內(nèi)以及在定義域內(nèi)與進(jìn)行大小比較，從而確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）在（1）的條件下結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與零點存在定理對端點值或極值的正負(fù)進(jìn)行限制，從而求出參數(shù)的取值范圍.
試題解析：（1）函數(shù)定義域為，
，
①當(dāng)，即時，
令，得，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，
令，得，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；
②當(dāng)，即時，
令，得或，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，
令，得，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；
③當(dāng)，即時，恒成立，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；
（2）①當(dāng)時，由（1）可知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，在單調(diào)遞增，
所以在上的最小值為，
由于，
要使在上有且只有一個零點，
需滿足或，解得或，
所以當(dāng)或時，在上有且只有一個零點；
②當(dāng)時，由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
且，，
所以當(dāng)時，在上有且只有一個零點；
③當(dāng)時，由（1）可知，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又因為，所以當(dāng)時，總有，
因為