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        1. (2012•東城區(qū)模擬)直線l1:y=kx+1-k(k≠0,k≠±
          1
          2
          )與l2:y=
          1
          2
          x+
          1
          2
          相交于點(diǎn)P.直線l1與x軸交于點(diǎn)P1,過點(diǎn)P1作x軸的垂線交直線l2于點(diǎn)Q1,過點(diǎn)Q1作y軸的垂線交直線l1于點(diǎn)P2,過點(diǎn)P2作x軸的垂線交直線l2于點(diǎn)Q2,…,這樣一直作下去,可得到一系列點(diǎn)P1,Q1,P2,Q2,…,點(diǎn)Pn(n=1,2,…)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{xn}.
          (1)當(dāng)k=2時(shí),求點(diǎn)P1,P2,P3的坐標(biāo)并猜出點(diǎn)Pn的坐標(biāo);
          (2)證明數(shù)列{xn-1}是等比數(shù)列,并求出數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式;
          (3)比較2|PPn|2與4k2|PP1|2+5的大。
          分析:(1)根據(jù)直線l1與x軸交于點(diǎn)P1,過點(diǎn)P1作x軸的垂線交直線l2于點(diǎn)Q1,過點(diǎn)Q1作y軸的垂線交直線l1于點(diǎn)P2,過點(diǎn)P2作x軸的垂線交直線l2于點(diǎn)Q2,…,可得點(diǎn)P1,P2,P3的坐標(biāo),從而猜出點(diǎn)Pn的坐標(biāo);
          (2)確定Qn,Pn+1的坐標(biāo),利用Pn+1在直線l1上,對其變形,即可證得結(jié)論;
          (3)求出P的坐標(biāo),表示出2|PPn|24k2|PP1|2+5,分類討論,即可得到結(jié)論.
          解答:(1)解:由題意可P1(
          1
          2
          ,0),P2(
          7
          8
          ,
          3
          4
          ),P3(
          31
          32
          ,
          15
          16
          )
          ,可猜得Pn(
          22n-1-1
          22n-1
          22n-2-1
          22n-2
          )
          .…(4分)
          (2)證明:設(shè)點(diǎn)Pn的坐標(biāo)是(xn,yn),由已知條件得點(diǎn)Qn,Pn+1的坐標(biāo)分別是:(xn,
          1
          2
          xn+
          1
          2
          ),(xn+1,
          1
          2
          xn+
          1
          2
          )

          由Pn+1在直線l1上,得
          1
          2
          xn+
          1
          2
          =kxn+1+1-k

          所以
          1
          2
          (xn-1)=k(xn+1-1)
          ,即xn+1-1=
          1
          2k
          (xn-1),n∈N*

          所以數(shù)列{xn-1}是首項(xiàng)為x1-1,公比為
          1
          2k
          的等比數(shù)列.
          由題設(shè)知 x1=1-
          1
          k
          x1-1=-
          1
          k
          ≠0
          ,
          從而xn-1=-
          1
          k
          ×(
          1
          2k
          )
          n-1
          ,∴xn=1-2×(
          1
          2k
          )
          n
          ,n∈N*
          .…(9分)
          (3)解:由
          y=kx+1-k
          y=
          1
          2
          x+
          1
          2
          得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1).
          所以2|PPn|2=2(xn-1)2+2(kxn+1-k-1)2=8×(
          1
          2k
          )2n+2(
          1
          2k
          )2n-2
          ,4k2|PP1|2+5=4k2[(1-
          1
          k
          -1)2+(0-1)2]+5=4k2+9

          (i)當(dāng)|k|>
          1
          2
          ,即k<-
          1
          2
          k>
          1
          2
          時(shí),4k2|PP1|2+5>1+9=10,
          而此時(shí)0<|
          1
          2k
          |<1
          ,∴2|PPn|2<8×1+2=10
          2|PPn|2<4k2|PP1|2+5
          (ii)當(dāng)0<|k|<
          1
          2
          ,∴k∈(-
          1
          2
          ,0)∪(0,
          1
          2
          )
          時(shí),4k2|PP1|2+5<1+9=10.
          而此時(shí)|
          1
          2k
          |>1
          ,∴2|PPn|2>8×1+2=10
          2|PPn|2>4k2|PP1|2+5.…(14分)
          點(diǎn)評:本題考查等比數(shù)列的證明,考查大小比較,考查學(xué)生分析解決問題的能力,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•東城區(qū)一模)已知sin(45°-α)=
          2
          10
          ,且0°<α<90°,則cosα=( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•東城區(qū)二模)定義:F(x,y)=yx(x>0,y>0),已知數(shù)列{an}滿足:An=
          F(n,2)
          F(2,n)
          (n∈N+),若對任意正整數(shù)n,都有an≥ak(k∈N*成立,則ak的值為( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•東城區(qū)二模)已知函數(shù)f(x)=-
          12
          x2+2x-aex

          (Ⅰ)若a=1,求f(x)在x=1處的切線方程;
          (Ⅱ)若f(x)在R上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•東城區(qū)一模)已知x,y,z∈R,若-1,x,y,z,-3成等比數(shù)列,則xyz的值為( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•東城區(qū)二模)已知函數(shù)f(x)=x
          1
          2
          ,給出下列命題:
          ①若x>1,則f(x)>1;
          ②若0<x1<x2,則f(x2)-f(x1)>x2-x1;
          ③若0<x1<x2,則x2f(x1)<x1f(x2);
          ④若0<x1<x2,則
          f(x1)+f(x2)
          2
          <f(
          x1+x2
          2
          )

          其中,所有正確命題的序號是
          ①④
          ①④

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